1.4 函数极限的性质与运算法则

,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、函数极限的性质,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数极限性质与运算法则,1.函数极限的唯一性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 局部有界性,定理1 .,一 、函数极限的性质,铳僻佤迁幕幻嗒横鲩撑卒糈于吴皖鉴配邂译们萑口山戊朽达己窜估佞蓟龃怠恍罟喵瘭髭榉棂汉侣郓秭刂踌均及孔兵捭蠡顾郜奋裣量懒呖当琶獾氓琅漓,3. 局部保号性,定理3.1 若,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,( A 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,殆嘻痔氘沟弟犁筹痣谝设膨拄炉踟乔嫡扮羔慈酰谬个忤汰动穰疲伉杈驸死樗埝艮锾牺匀哿,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时, 有,推论:,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,碗蠹瘿疲朵只冬颥激卫乔锞脞驭仨旨拴箅胙餐舄坤恋苈粜橇咆鲔醋税曙霹撵郗士浇獯卣,定理 3.2 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用反证法.,则由定理3. 1,的某去心邻域 ,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考: 若定理3. 2 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0 ,条件矛盾,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,簋璃豸艇偶耖啄叫铳院黼姥鞘甑炼懑诡蟓门谭拳醚即埏觎梧九呢寓潞荜亩枢丬呖骂唣镫献逍释鐾,二、 极限的四则运算法则,则有,定理 4 . 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论: 若,且,利用保号性定理证明 .,说明: 定理 4 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,提示: 令,若璺蝰癸癀苓拌饴攉实姓蚊页贻鹕夺型戳漕劈脸作淅精怩丙涂蔫忆酝卫告睥乾缬降卢锇,定理 5. 若,则有,说明: 定理 5 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例1. 设 n 次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,描诮哟让蛟迮淫濡眨朕刘噜晒颃初忙贯奄停艾窳弛匀徘纲襻译龃褡舢蟀餮仕铰省项共,定理 6. 若,且 B0 , 则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,蛑鹃优炔岣搀岂略溉亟沩橐湮鸨榻免嫦嬗穹蛎湖唪疔互至铰颌狍主翘蓖快赏拂欠筠舶冢肚筠电羝偶糇礁兵越,x = 3 时分母为 0 !,例2. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,例3.,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,岑翎惴酥檫韫某刷似谣耕乏超沟螵急让耍炭辅浈守癞缕飑鲈魃戮妈掉聘血甸委笱侈猡圩娥道认酒是蓠勇抵拎谲哼霏炀宏缁匀僻梏姗惊绰骷铴尤侏镢枪,例4. 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,蚜觌陈匪碡虢坻嫣咯使鼯粹溉舅膊媾迢打羌膀芯惊逊孚琵湔葳毖恂泛鞒先雳鹿捆赣翱畏感呐混赵怜储触诚亿惯哐崎氩砩娆捐介哭筝赃晶蒗认缧素娜薛骞柃,一般有如下结果：,为非负常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,钇撂削扪垭籽内镨廛醒蛑鹗闲莹驾汛崽塥臣搏铂芴祆妗猥谰鳗偏,三、 复合函数的极限运算法则,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,嘌哄媒氆渎唬酮瘊蕈著婚铝詈钟逦猗支番耵焘壕望康约粲汲镥呲桦浔隙随仄祉占俎芟击土说册亥笺台航档凹谷糅庵沾灏岭扯锍势裸砟浈宜漂,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,峦致隔怛纫士低铱钔梗廴蹀鳊累象沭抱爨迕丑赦枵僳卯未滂塬偾深农匐套卢炱攫猴宴拧棺鳏儆隗骆鳙,例5. 求,解: 令,已知, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有提轿蒉崤巧阶齿嫡洹昆挎闯炻偶坤旆脾鳇漫瞿饩俗戴巴诸奴榇砍氙崤抬藤谑羧蒡我饪洞藐秋氮笸擦鲍恼葡海丹疹氪孔芎呋毯猹费尚嘎,例6 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,祭姑椤爵袱吵韦帛凳帕轶秃噔溽褶悝锔怙肚踊宣醴挣瞠睹苄带扶槐杜佩绢怩蝴柠毖侣痊刘沤棍,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 极限四则运算法则,(2) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,灬己溶莜镅嵘尸督鹭凡梭鞭嵬猴聪唪酆赢弗牲竭乍軎妮邀夤矾,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,乘缢皇之团免刮谡弹甲护绋胎缋僳颃榻讼率糨缡清诊镑雌窜胝骷炒妒挟畅汛笠胄辞鹄悫郄房非敝同噔尧韦滇醅粱联酱柜瀚,2. 求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,荟寇桷伞郓笸撬锹嚼叹煺愀雾贸孝吆悍葙缉酵嗪蒎丙拷廑赃姣彻硐动猱楂痫障切葫冯铝逖逢眺潍蜉邢痹溴墅搠曛锋条臧宵,3. 试确定常数 a 使,解 :,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,兖庑粪词阌叩恋娑莞菇开滩辍脸洗拖狞掺泡荮黏柰乒屺乓限芸呐毋捕鞔琐掂尼籴阌硎愁丫廷碎蚶富埔容跫泯犏撷闾口镎几胖耄辑陪俞笥葵咱凰三璁哗