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文档简介

5 3矩阵的条件数和方程组的性态 1 华长生制作 2 首先引入向量和矩阵的范数 设是n维向量空间 分别定义x的非负实函数如下 可以验证它们都是上的范数 华长生制作 3 定理1设是的某种范数 则是分量的连续函数 定理2设及是上的两种向量范数 则有与x无关的常数 使定理3上所有范数是等价的 华长生制作 4 接下来看矩阵的范数 定义矩阵的非负实函数若满足则称是矩阵A的范数 华长生制作 5 设 常用矩阵范数有 华长生制作 6 如果对矩阵范数和向量范数 有则称矩阵范数和向量范数相容 另外介绍一种由向量范数导出的矩阵范数定义设为向量范数 定义矩阵A的非负函数可验证它是一矩阵范数 称为从属范数 华长生制作 7 可以验证 向量范数所导出的矩阵范数与该向量范数是相容的 定理矩阵范数分别是向量范数的从属范数 下面来讨论线性方程组的解对系数矩阵和右端常数项的敏感性问题 华长生制作 8 的准确解是 1 1 T 若A及b作微小的变化 扰动后的方程组为其准确解为 2 10 T 先看一个例子 说明方程组的解对扰动的敏感性 例方程组 此例中 A和b的微小变化引起x很大的变化 x对A和b的扰动是敏感的 这种现象的出现完全是由方程组的性态决定的 华长生制作 9 定义如果方程组Ax b中 矩阵A和右端b的微小变化 引起解向量x的很大变化 则称A为关于解方程组和矩阵求逆的病态矩阵 称相应的方程组为病态方程组 否则 称A为良态矩阵 称相应的方程组为良态方程组 我们需要一种能刻画矩阵和方程组病态程度的标准 定理设有n阶非齐次方程组Ax b 其中A非奇异 设系数矩阵和右端项有小扰动和 扰动后的方程组为则当时 有 华长生制作 10 经整理后得 由于 即得所证 再利用 则有 华长生制作 11 如果 此时有 如果 此时有 华长生制作 12 为矩阵A的条件数 如果矩阵范数取2范数 则记 定义设A Rn n为可逆矩阵 按算子范数 称 Cond A 同样可以定义cond A 和cond1 A 可见 条件数比较大时 A和b的小扰动可能会引起解的较大误差 所以条件数刻画了方程组Ax b的性态 一般地 条件数较大时方程组是 病态 的 条件数较小时方程组是 良态 的 华长生制作 13 例下列Hilbert矩阵是一族著名的病态矩阵 它是一个n n的对称矩阵 可以证明是正定的 计算条件数有cond2 H4 1 5514 104 cond2 H6 1 4951 107 cond2 H8 1 525 1010 由此可见 随着n的增加 Hn的病态可能越严重 华长生制作 14 华长生制作 15 对于病态方程组 数值求解必须小心进行 否则达不到所要求的准确度 有时可以用高精度 如双精度或扩充精度 的运算 以改善或减轻方程组的病态程度 有时也可以对圆方程组作预处理 以降低 系数矩阵的条件数 即选择非奇
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