同角三角函数的基本关系及其应用.doc

同角三角函数的基本关系应用方法温燕红 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。 我们已经知道了三角函数的定义：任意角的终边上取点P，设点P的坐标为（x，y），OP=r，我们定义 因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式： （1） 平方关系：，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1. （2）商数关系：，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当的值使等式两边都有意义时才能成立。在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意的选取。考查题型一 已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。 例1：若解析：分析：此类题型属于较易题型，在角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。题型二 已知的值，求关于的齐次分式时，可将求值式变为关于的代数式，此方法可称为弦化切。例题2：已知，则= 解析：由题意可得，把上下同时除以，得到。例3：已知，求解析：将分子、分母同时除以得。例4：已知解析：注：如果已知一个角的正切值，我们利用同角三角函数的基本关系式，可以联立求出正弦、余弦的值，代入也可以解得此类题型的答案，但是相比之下不如用弦化切的方法简单，所以，弦化切的方法是一个基本技巧，需要学生掌握。题型三 三角函数的化简在对三角函数化简时，在题设的条件下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求是使结果尽可能地简单。对化简的一般要求是：（1）项数要最少；（2）次数要最低；（3）函数种类要最少；（4）分母不含根号；（5）能求值的要求值。例5：化简：解析：原式=cos360-sin236cos360-sin3602 =cos360-sin360cos360-sin360 =cos360-sin360cos360-sin360=1注：此题中首先需要利用凑完全平方式，去根式。其次一定要判断正余弦三角函数的大小。判断方法，我们只需根据三角函数线判断終边在第一象限与第三象限时三角函数值的大小即可。第二象限及第四象限的角的正余弦值一正一负很容易判断。口诀：0450，余弦大；45900，正弦大；18002250，正弦大，22502700，余弦大。例6：化简:1-2sin4cos4解析：原式=sin24+cos24-2sin4cos4 =sin4-cos42 =sin4-cos4因为544sin4所以原式=cos4-sin4题型四 注意1的妙用，在同角三角函数关系中，sin2+cos2=1,可变形成sin+cos2-2sincos=1,期中sin+cos与sincos很容易与一元二次方程中的韦达定理产生联系。若以sin、cos为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题。例题7：已知：sin+cos=15，0，求值：1tan;2sin-cos.解析：sin+cos=15，0，。sin+cos2=125，即sin2+cos2+2sincos=125sincos=-12250,cos0,且sin，cos是方程x2-15x-1225=0的两根。解方程得x1=45,x2=-35,sin=45,cos=-35.1tan=sincos=-43.2sin-cos=75.方法总结：同角三角函数的解题方法：（1）弦化切（2）1的妙用（3）对于已知sincos=型的问题，将两边平方。（4）利用韦达定理，将sin，cos看做一元二次方程的两根灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形能力，进一步掌握化归思想方法。练习：1若sin，且是第二象限角，则tan的值等于（）ABCD2已知sincos，且0，那么tan等于（）ABCD3若sin4cos41，则sincos等于（）AB1C1D1二、填空题4若sin3cos0，则的值为_5已知tan2，则_三 解答题 6 已知sinm（|m|1），求tan，cos 7已知tancot2，求：（1）sincos的值；（2）sincos的值；（3）sin3cos3的值答案：一、1A 根据是第二象限角，由平方关系可得cos，从而tan2A 解方程组得或又因为0，故取sin，这时cos，求得tan3D （sin2cos2）2sin4cos42sin2cos212sin2cos2，sin2cos21sin2cos20sincos0当sin0时，cos1 当cos0时，sin1所以sincos1二、4 由已知可得tan3，于是原式5