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对光波的空间限制导致其频谱展宽 山东大学 信息学院 光信08级 刘晓慧 学号:2008001203641 摘要 本篇文章主要讨论对光波的空间限制导致频谱展宽的问题。从空域看，孔径（衍射屏）的作用限制了入射波面的大小，但从频域看则是展宽了入射光场的角谱。因为，在空域光场与衍射屏透过率的乘积运算经过傅里叶变化，变成在频域的卷积运算，而卷积具有展宽平滑的效应。故衍射屏使光波空间受限，展宽了光波的角谱，且空间限制越厉害，角谱展宽越大。2 关键词 标量衍射的角谱理论 傅里叶变化 空间限制 角谱展宽3 引言 衍射现象无处不在。衍射屏的引入使光波的角谱(空间频谱）展宽。在出射光波中，除了包含与入射光波的传播方向相同的分量之外，还增加了一些高空间频率的平面波成分，这就是衍射波。衍射屏使光波空间受限，展宽了光波的角谱。空间受限越厉害，角谱展宽越大。衍射在空域上的研究我们可以利用基尔霍夫衍射理论方便的建立模型并且分析，而孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合，每一平面波分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。下面主要讨论空间限制导致频谱展宽的问题。4 正文 对光波的空间限制导致其频谱展宽，最简单的例子便是衍射了。衍射现象无处不在,単缝衍射，圆孔衍射等等。简单地讲，波在传播过程中遇到障碍物时偏离几何光学路径的现象称为波的衍射。其中障碍物可看成是对光波的空间限制。当像差很小或者系统的孔径和视场都不大，实际光学系统就可近似看做衍射受限系统，所以在研究实际光学系统时，此问题很有意义。空间限制导致频谱展宽，且限制越甚，衍射效应越强。例如，単缝衍射中，缝越窄，在垂直于缝的方向上衍射光散得越宽。例：夫琅禾费衍射光栅衍射： 下面对此问题做具体分析。(1) 角谱理论孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一平面波分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。一定空间频率对应一定的空间传播方向（空间传播角度），不同的空间频率对应不同的空间传播方向。用传播角度表示的空间频谱便是角谱。 任何一个光波都可以看成由许多不同空间频率成分的平面波组成。 F(u,v)称为空间频谱变成了，称为空间角谱一定的空间频率对应着一定的空间传播方向，用角谱完全可以描述光波的一般规律。从空域到频域的转换可用傅里叶变化实现。很多时候用频谱来进行分析会使问题简化。FT将空间中的卷积(乘积)运算与频域中的乘积（卷积）运算联系起来，从而方便了对某个空间场在两个域的共同研究。（2） 衍射屏衍射屏：只要能以某种方式对入射光波的波面进行调制（包括振幅调制，相位调制等），就可称之为衍射屏。包括振幅型，如単缝，圆孔，光栅等，相位型和复合型。衍射屏复振幅透过率：衍射屏对入射光波调制作用的数学描述，是描述衍射屏宏观光学性质的函数，可用t（x,y）表示。（3） 孔径对角谱的影响 现在我们讨论照明孔径的入射光场和透射光场之间的关系，特别是角谱之间的关系。假定入射到孔径平面上的场分布为，衍射屏的复振幅透过率为，衍射屏后表面即出射光场为。它们的关系为=现在我们来研究在频域中衍射屏的透过率函数的作用。假设入射光场的角谱和透射光场的角谱分别为和。从空域到频域的转换用傅里叶变化实现。由傅立叶变换的卷积定理可得=*式中是衍射屏或孔径透过率函数的傅立叶变换，即=Uin(x,y)Uout(x,y)t(x,y)对于用单位振幅的平面波垂直照射衍射屏这种特殊情况t(x,y)此时=因而=*=通过衍射屏后，由函数所表征的入射光场的角谱变成了孔径函数的傅立叶变换，显然角谱分量大大增加了。因此，从空域看，孔径的作用限制了入射波面的大小；从频域看则是展宽看入射光场的角谱。可以这样理解：由傅立叶变换的卷积定理可知衍射屏可以对角谱进行卷积运算。而卷积运算又具有展宽带宽的性质，故衍射屏使光波空间受限，展宽了光波的角谱。空间受限越厉害，角谱展宽越大。可以看到，由卷积运算的展宽效应，可知在出射光波中，除了包含与入射光波的方向想同的分量之外还增加了一些与入射光波的传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的平面波成分。通过衍射屏后，由函数所表征的入射场的角谱变成了孔径函数的傅里叶变换，角谱分量增加了。因此，从空域上看，孔径的作用限制了入射面的大小；从频域上看，则是展宽了入射光的光谱。下面具体举几个例子：(1)无衍射屏Uin(x,y)=1d(u,v)Uin(x,y)=1 (2) Uin(x,y)=1t(x,y)=rect(x/a)狭缝宽度为a, ，则=其中函数的第一零点位于，透射光偏离入射光方向，透射光谱展宽忽略很弱的高频分量时，透射光频带宽。(3)Uin(x,y)=1t(x,y)=rect(2x/a)狭缝宽度为a/2,，则=函数的第一零点位于处，忽略第一零点以外的频率，则，与第一组实例相比较频谱进一步展宽。即狭缝宽度变为原来宽度的1/2时，出射光波的频谱宽度变为原来的2倍。Uin(x,y)=1t(x,y)= 1+cos(2pux)(4)傅氏变换，则 衍射屏对入射光波进行正弦形振幅调制，透射光波的频谱增加了及两个频率分量。即公式中后面两项。(5) 。衍射屏对通过通光孔径的光进行正弦形振幅调制，加强了限制，在，及处对入射光频谱进行了展宽，原来只有冲击函数一项，现在把它展宽成三个sinc函数。5 结论即衍射屏对光波的对光波的空间限制（调制）会导致