浅谈数形结合思想在数学中的应用 (2).doc

仁怀市2012年中小学论文评选 编号： 浅谈数形结合思想在数学中的应用数形结合思想是一种重要的数学思想，通俗地说就是代数与几何相结合的思想。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示.一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论.数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物.华罗庚先生说过:“数与形是两依椅，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微”。“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立辩证统一的关系数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识，理解，掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想。它是在一定的数学知识，数学方法的基础上形成的。它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用。一 利用数形结合思想解决不等式问题例1、已知为正数，且，试证： 分析：观察求证的结论，使我们联想到矩形和正方形的面积公式，便可构造以边长的正方形，如图1：由图可得：S正方形 ABCD=，S阴影=即S阴影S正方形 例2 解不等式解:这里出现了参数，讨论起来会很困难，而用图像法则十分简洁.的图像是，是此圆的上半部，再令，这是斜率为-1的平行直线束，它在轴上的截距为，不难从图中看出:1)当时，解为;2)当时，解为;3)当时，解为，其中为方程的两根：4）当时，解为；5）当时，解集为.此题采用数形结合，避免了复杂的讨论，体现了以数求形的优越性. 二 利用数形结合思想解决函数问题例3若，试求函数的最小值。分析 若采用纯代数的方法求解，过程相当繁杂，不妨试用几何方法.解 设是直角坐标平面上的一点，则表示直线的上方（含直线本身）区域.如图3所示方程，变形为可见它表示以为圆心，为半径的圆.由于不确定，它表示的是动圆，而其上点应是直线上方（含直线）的点，为使最小，即需要此动圆半径最小，此即到直线的距离.故当时，即为所求最小值.为求出何时取到最小值，只需再解方程组得即此时，函数取最小值.例4设 为方程的根，为方程的根，则_分析：本题等式两边为不同类型的函数组成的超越方程.直接求出、是很难的（对高中学生来说是解不出的）是否就没办法呢？再次审题，注意到两个方程左边的两个函数互为反函数，其图象关于直线 对称，这时可启发学生用图像的对称性来求解构造函数，将，分别看作函数与、的交点的横坐标，再利用对称性求解 解得所以三 数形结合在数学分析中的应用1 导数几何意义的应用 函数的导数和曲线的切线密切相关.在微分学中，利用导数的几何意义能帮助我们探求许多问题的解题思路.例5已知函数满足条件：(1) 在上连续，且；(2) 在(a，b)内可导，且导函数不恒为0.证明：在(a，b)内至少存在一点，使得 0我们首先观察函数的图形（如下图5）条件（1）表明，函数的图形是一条连续曲线，而且曲线的两个端点都在轴上；条件（2）表明，这条曲线除端点外，在每一点都有不垂直于轴的切线，而且不会所有的切线都平行于轴. 证明：根据题设条件，在(，) 内一定不恒为0（否则在(，)内，与题设条件矛盾）.所以一定存在(，)，使得.下面分两种情况讨论.若0，则考虑区间.根据题设条件，在上满足拉格朗日中值定理的条件，又注意到，所以至少存在一点，使得=0（2）若，则考虑区间.根据题设条件，在上也满足拉格朗日中值定理的条件，又注意，所以至少存在一点,使得=02 定积分几何意义的利用例6设是(，)上以T为周期的连续函数，证明对任何实数 =这个积分等式的几何解释如图6所示.积分表示位于区间部分的曲边梯形的面积，积分则表示位于区间部分的曲边梯形的面积，这两个曲边梯形的面积该相等.要证明这两个曲边梯形的面积相等，只需要证明位于区间和部分的两个小曲边梯形面积相等就行了.根据定积分的几何意义，这就需要证明 =证明 因为函数的周期为，所以对一切实数有令，则由定积分的换元积分法有=所以=+=+=可见数形结合思想在数学中有着极其重要的作用，所以能熟练运用数形结合思想对我们解决数学问题有很大的帮助。通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了。数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平。四 使用数形结合思想应注意的问题“数”与“形”作为数学研究的两个基本对象，既是统一又是对立。在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点：(1)善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。(2)正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。(3)切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。综上所述，数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性，简而言之“数形互相取长补短”。由此可见在解题过程中，巧妙地将数与形有机地结合起来，往往能使问题的解答简明、直观和有趣。将数形结合的数学思想方法渗透到课堂教学及解题训练中，对培养学生思维的广阔性、层次性及能力的提升都将是十分有效和有益的。参考文献：1 周建伟.数学分析的思想方法.中山大学出版社.2001.35 2 张