结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算.ppt

基本要求 领会变形体虚功方程 掌握实功与虚功 广义力与广义位移确定 掌握互等定理 支座移动和温度改变引起的位移计算 熟练掌握荷载产生的位移计算 用图乘法求位移 第四章虚功原理和结构的位移计算 虚功及虚功原理理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改变产生的位移计算支座移动产生的位移计算线弹性体互等定理 4 1位移计算概述 a 验算结构的刚度 b 为超静定结构的内力分析打基础 不产生内力 产生变形产生位移 b 温度改变和材料胀缩 c 支座沉降和制造误差 不产生内力和变形产生刚体移动 位移是几何量 自然可用几何法来求 但最好的方法是虚功法 其理论基础是虚功原理 a 荷载作用 2 产生位移的主要原因 计算位移时 常假定 1 E 2 小变形 即 线弹性体系 荷载与位移成正比 计算位移可用叠加原理 1 计算位移目的 4 2刚体虚功原理及应用 荷载由零增大到P1 其作用点的位移也由零增大到 11 对线弹性体系P与 成正比 元功dT P d P2在自身引起的位移 22上作的功 在 12过程中 P1的值不变 12与P1无关 1 静力加载过程 一 刚体虚功原理 2 实功与虚功 实功 是力在自身引起的位移上所作的功 如T11 T22 实功恒为正 虚功 是力在其它原因产生的位移上作的功 如力与位移同向 虚功为正 如力与位移反向 虚功为负 kj 位移发生的位置 产生位移的原因 3 广义力与广义位移作功的两方面因素 力 位移 与力有关因素 称为广义力S 与位有关的因素 称为广义位移 广义力与广义位移的关系是 它们的乘积是功的量纲 即 T S 广义力 广义位移 单个力 力作用点沿力作用方向上的线位移 单个力偶 力偶作用截面的转角 等值反向共线的一对力 两力作用点间距的改变 即两力作用点的相对位移 一对等值反向的力偶 两力偶作用截面的相对转角 T P A P B P A B P T m A m B m A B m 二 虚功原理的应用 1 虚设位移求未知力 虚位移原理 2 虚设力系求位移 虚力原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是 对于任意微小的虚位移 外力所作的虚功之和等于零 4 刚体虚功原理 1 需设位移求静定结构的未知力 虚位移原理 X 1 P b a W 0 虚设位移求未知力 虚位移原理 1 由虚位移原理建立的虚功方程 实质上是平衡方程 2 虚位移与实际力系是彼此独立无关的 为了方便 可以随意虚设 如设 X 1 3 虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平衡问题 作出机构可能发生的刚体虚位移图 应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤 1 撤除与X相应的约束 使静定结构变成具有一个自由度的机构 使原来的约束力X变成主动力 2 沿X方向虚设单位虚位移 利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移 3 建立虚功方程 求未知力 qa 0 25 qa2 0 25 a q 1 2a 2 0 5 a 2 0 QC 1 25qa 虚功方程为 QC 1 2 虚设力系求位移 虚力原理 单位荷载法 建立虚功方程 P Rac 0 1 由虚力原理建立的虚功方程 实质上是几何方程 2 虚荷载与实际位移是彼此独立无关的 为了方便 可以随意虚设 如设P 1 故称单位荷载法 3 虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题 状态1是满足平衡条件的力状态 状态2是满足变形连续条件的位移状态 状态1的外力在状态2的位移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的变形上作的内虚功之和 T12 0 即 T12 d 2 2ds 微段的变形可分为 2ds 2ds 2ds N1 2ds Q1 2ds M1 2ds 4 3变形体虚功原理及其应用 一 变形体虚功原理 虚拟力状态1 需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P 1 该式是结构位移计算的一般公式 1 适用于静定结构和超静定结构 2 适用于不同的材料 产生位移的各种原因 不同的变形类型 3 该式右边四项乘积 当力与变形的方向一致时 乘积取正 二 变形体虚功原理的应用 4 4荷载作用下的位移计算 NPQPMP 真实位移状态 注 1 EI EA GA是杆件截面刚度 k是截面形状系数k矩 1 2 k圆 10 9 2 NP QP MP实际荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力是正负号规定 轴力NP 拉力为正 剪力 QP 顺时针转动为正 弯矩 MP 同侧纤维受拉取正 5 桁架 6 桁梁混合结构 7 拱常只考虑弯曲变形的影响 对扁平拱需考虑轴向变形 3 公式右边各项分别是轴向 剪切 弯曲变形产生的位移 4 梁和刚架 一 荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式 8 该公式适用于静定和超静定结构 但必须是弹性体系 9 虚拟力状态 在拟求位移处沿着拟求位移的方向 虚设相应的广义单位荷载 位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载 例 图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆 拉杆采用钢杆 求C的竖向位移 解 1 将q化为结点荷载P ql 4 4 74P 4 42P 4 5P 3 0P 2 求 3 求NP 继续 继续 二 荷载作用下的位移计算举例 1 50 1 50 1 58 1 58 0 0 2 求 4 求 C 0 263l 0 263l 0 088l 0 278l 0 278l 0 222l Ab Ab 0 75Ab Ag 3Ag 2Ag 1 97Pl AbEb 1 84Pl AbEb 0 0 0 63Pl AgEg 0 5Pl AgEg C Pl 3 81 AbEb 1 13 AgEg 2 3 求NP 继续 例 求图示1 4圆弧曲杆顶点的竖向位移 解 1 虚拟单位荷载 虚拟荷载 3 ds Rd 钢筋混凝土结构G 0 4E矩形截面 k 1 2 I A h2 12 可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计 但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略 2 实际荷载 例 求图示等截面梁B端转角 解 1 虚拟单位荷载 MP x Px 20 x l 2MP x P l x 2l 2 x l 0 x l 积分常可用图形相乘来代替 2 MP须分段写 Mi xtg 注 表示对各杆和各杆段分别图乘再相加 图乘法的应用条件 a EI 常数 b 直杆 c 两个弯矩图至少有一个是直线 竖标y0取在直线图形中 对应另一图形的形心处 面积A与竖标y0在杆的同侧 Ay0取正号 否则取负号 y0 x0tg 4 5图乘法计算位移 几种常见图形的面积和形心的位置 A hl 2 二次抛物线A 2hl 3 二次抛物线A hl 3 二次抛物线A 2hl 3 三次抛物线A hl 4 n次抛物线A hl n 1 顶点 顶点 顶点 顶点 顶点 ql2 2 例 求梁B段转角 例 求梁B点竖向位移 例 求图示梁中点的挠度 3a 4 例 求图示梁C点的挠度 温故而知新 图乘法位移计算举例 表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加 图乘法的应用条件 竖标y0 面积 与竖标y0在杆的同侧 y0取正号 否则取负号 几种常见图形的面积和形心的位置 a EI 常数 b 直杆 c 两个弯矩图至少有一个是直线 取在直线图形中 对应另一图形的形心处 非标准图形乘直线形a 直线形乘直线形 各种直线形乘直线形 都可以用该公式处理 如竖标在基线同侧乘积取正 否则取负 111 b 非标准抛物线成直线形 EI 3 6465 104Nm2 P 1 0 8 A2 求C点竖向位移 求AB两点的相对水平位移 6 3 EI 常数 求B点的竖向位移 ql2 8 l 2 上式中的两项积分都是标准图形相乘 如l1 l 2 EI2 2EI1 则 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形 所以e 0 k 0 g 0 代入 得到 仅用于静定结构 4 6支座移动而产生的位移计算 1 温度改变对静定结构不产生内力 材料的自由胀 缩 2 假设 温度沿截面高度为线性分布 t0 t0 h1t2 h2t1 h t t2 t1 3 微段的变形 k d ds a t2 t1 ds hds a t h 0 该公式仅适用于静定结构 e at0 4 7温度改变 制造误差而产生的位移计算 制造误差 温度改变 例8 11求图示刚架C点的竖向位移 各杆截面为矩形 1 a 应用条件 1 P 2 小变形 即 线弹性变形体系 N1M1Q1 N2M2Q2 1 功的互等定理 功的互等定理 在任一线性变形体系中 状态 的外力在状态 的位移上作的功W12等于状态 的外力在状态 的位移上作的功W21 即 W12 W21 4 8互等定理 2 位移互等定理 位移互等定理 由单位荷载P1 1所引起的与荷载P2相应的位移 21等于由单位荷载P2 1所引起的与荷载P1相应的位移 12 等于Pj 1所引起的与Pi相应的位移 注意 1 这里荷载可以是广义荷载 位移是相应的广义位移 2 12与 21不仅数值相等 量纲也相同 3 反力互等定理 等于cj 1所引起的与ci相应的反力 反力互等定理 r12 r21 在任一线性变形体系中 由单位位移C1 1所引起的与位移C2相应的反力r21等于由单位位移C2 1所引起的与位移C1相应的反力r12 注意