实变函数课程简介.doc

实变函数课程简介 一、课程在本专业的定位 实变函数是我校数学类各专业的一门重要专业基础课，它不仅是学习后继课程的一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养. 同时它也是报考研究生的入学考试科目. 因此，实分析教学的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程.实变函数论是现代数学的重要基础，人们常以实变函数理论的出现作为现代数学的主要分支-现代分析数学诞生的标志。实变函数的中心任务是建立一种较之旧的积分-黎曼积分更为灵便的积分-勒贝格（Lebesgue）积分理论。采用集合论的思想方法研究数学分析中的问题是实变函数的主要特点。目前，实变函数理论已渗透到现代数学的许多分支，它在数学各个分支的应用成为现代数学的显著特征。实变函数论是数学类各专业的一门重要专业基础课，它直接影响到该专业的许多后续课程，例如泛函分析、概率论、数理统计、测度论、计算方法、偏微分方程、分形几何、小波分析、调和分析、随机过程和随机分析等课程。由于思想方法独特，它的许多理论比起经典的分析学要深刻得多，应用起来也便利得多。例如函数黎曼可积的充分必要条件是函数几乎处处连续；积分与极限交换不再要求一致收敛；重积分化为累次积分只需函数是可积的，等等。另外，许多初等数学的基本概念和内容也需要实变函数的理论才能解释清楚。 二、本课程的目标： 1.了解近代抽象分析的基本思想；掌握集合测度的基本思想、基本方法；掌握可测函数的概念与基本性质；了解可测函数列的收敛性、可测函数与连续函数的关系；掌握Lebesgue积分的基本思想、基本性质以及积分极限定理及其应用；能较深刻理解测度和Lebesgue积分的必要性，掌握建立测度和Lebesgue积分的步骤；了解重积分与累次积分的关系；掌握有界变差函数与绝对连续函数的基本性质，了解微积分学基本定理在Lebesgue积分情形下的推广等等，为进一步学习和研究现代数学理论打下初步的基础； 2.培养学生抽象思维、空间想象、逻辑推理和熟练地运算能力； 3.掌握学习方法，培养自学能力； 4.应用数学方法解决实际问题的能力。 三、知识模块顺序及对应的学时 1实变函数论研究什么.这是一个导引（2学时） 2集合与点集.讨论所需要的集合知识以及点集的基本理论.（28学时） 3Lebesgue测度,讨论Lebesgue外测度、测度以及可测集的性质。（21学时） 4可测函数，讨论可测函数的概念、性质以及可测函数列的收敛性（18学时） 5Lebesgue积分，讨论积分的概念、性质、积分极限定理（21学时）四、课程的重点、难点及解决办法 重点： 1. 集合的运算、集合的基数以及用基数来刻画函数的有关性质； 2.开集、闭集与Borel集； 3.外测度与测度、可测集及其性质； 4.可测函数及其性质； 5.Lebesgue积分的概念及性质； 6. Lebesgue积分的极限定理与Fubini定理 难点：1.实变函数中抽象概念的引入（如基数、测度、可测函数等）； 2.定理的理解、应用及证明； 3. 实变函数是介绍用抽象的集合方法研究函数的一门课程，学生对集合的理解本来就不透彻，对一般集合的结构了解得也比较模糊，再以抽象的集合作为工具来研究函数，学生更难于接受。 解决方法： 1. 对于抽象数学概念的引入，与实际例子和几何直观相结合，使学生有一个感性的认识，在此基础上上升为数学的抽象； 2. 内容的阐述，由浅入深、循序渐进，定理的理解和论证尽量借助几何直观、力求通俗易懂，强调定理的应用意义，降低对定理证明的要求； （3） 对于个别学习困难的学生，采用辅导、答疑的方法解决，对普遍感到困难的部分，通过习题课和讨论课解决。尽量多地启发和指导学生动手做：剖析证明方法、总结概念变化情况，尝试函数构造。 五、实践教学的设计思想与效果 实变函数是古典分析的发展与实际应用的需要相结合的产物，也是数学本身以及自然科学的进一步研究对数学理论提出的要求，并随着数学和自然科学的发展进步而不断发展。实变函数的理论在数学、自然科学、工程技术领域中都有着广泛应用，在课程内容以及教学方法的改革中适当加入知识产生背景的介绍，结合先行课和后续课的内容设计一些合理有趣的探究性问题是必要的，这些教学内容将有助于培养学生学习数学的兴趣，以期达到提高学生的素质为目的。我们的实践教学的设计思想和措施如下： （1）在集合论、测度论和积分论这三块内容中，分别选择典型的背景知识的介绍或读物供学生参考.在集合论部分，设计用集合思想研究函数性质的探究性问题.在测度论和积分论部分，设计适量合理的能分别反映测度思想和积分思想产生过程的研究性问题.（2）为了培养学生的科学创新能力，实践教学以讨论课、习题课为主，另外再辅以适当的课外练习。为使学生在课外，也能自主把握课程的内容，我们还编写了实变函数学习辅导材料供学生使用.（3）积极开展第二课堂，指导学生课程小论文，指导学生科研立项.（4）充分应用现代信息技术手段，制作适合我校特点的实变函数的多媒体电子教案，利用多媒体教学，化抽象为生动，尽可能做到直观易懂与严密处理相结合，注意有关概念的比较与联系，充分调动学生的学习积极性。 六、.教材选用与建设 我们先后使用过2种教材,它们是:1 薛昌兴，实变函数与泛函分析，高等教育出版社。 2 程其襄等著，实变函数与泛函分析基础，高等教育出版社。 目前，我们根据长期教学实践不断修订的讲义将整理完成,进一步校改后将交付出版。在教学研究过程中形成的指导学生学习的指导材料不断更新完善。将先通过网上贴挂的形式提供给学生参考.实变函数论课程的网络建设也取得了进步，对促进学生自主学习起到了应有的作用。 七、促进学生自主学习的扩充性资