2012全国高中数学联赛模拟试题10.doc

模拟试题(10)参考答案（一试）一、填空题1. 关于实数的表达式的最小值是_。2. 已知实数满足，则的取值范围是_。3. 将函数的图像绕原点逆时针旋转锐角后，仍然得到一个函数的图像，则的最大值是_。4. 在四面体中，棱和互相垂直，且，其中为常数，则四面体的体积的最大值是_。5. 对于给定的正整数，定义数列，其中是高斯函数。给出下列命题：对数列，存在正整数，使得当时，总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中真命题的序号是_。6. 设是不小于2的正整数），将个数依次放入编号为的个位置，得到排列。将该排列中分别为奇数和偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为变换。将分成两段，每段个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段作变换，得到，如当时，此时位于中的第4个位置。（1）当时，位于中的第_个位置;（2）当时，求位于中的第_个位置。7. 已知平面上四个点，。设是四边形及其内部的点构成的点的集合，点是四边形对角线的交点，若集合，则集合所表示的平面区域的面积为_。8. 已知集合，设函数的定义域为，且。若点，的外接圆圆心为，且，则满足条件的函数有_个。二、解答题9. 设点是圆外的动点，过点作的两条切线，分别与抛物线相交于点和。求证：的纵坐标之积为定值。10. 若集合具有以下性质：，；若，则，且时，则称集合是“好集”。（1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（2）设集合是“好集”，求证：若，则，且。11. 已知数列满足，且。（1）求的取值范围，使得对任意正整数都成立；（2）若，求证：。（二试）一、在中，点分别是三边上的点，点分别是的重心，点分别是的重心。（1）求证：点共线；（2）直线共点的充要条件是直线共点。二、已知，且，求证：。三、设矩阵满足：对任何和，都有；。对任何和，记，且。（1）对于矩阵，求；（2）设，对于，求的最大值；（3）设是给定的正整数，对于所有的2行，列的矩阵，求的最大值。四、已知数列（1）求证：对任意正整数和，整除；（2）给定正整数，已知整除，求证：整除。模拟试题(10)参考答案一、填空题1. 令，则，注意到，所以原点是的费玛点，所以的最小值在即原点时取到，最小值为。2. 由已知，由得，得。3. 作出曲线的图像，如图，最大角为4. 作，分别为垂足，连接，可以证明，是中点，故，点在以为焦点的椭圆上移动，所以即到距离的最大值为，所求最大值为5. 错误，若，则前5项为8,4,3,2,3，从第三项开始，周期为2；正确，由得，或；若，则；若，则；正确，由得，从而，故，由和得，。6. 第一个空格填6；的元素可按下标分为段，每一段中元素的下标，可看作是一个等差数列，公差为，且各段首项的下标模各不相同。令，的各段首项依次为，则的各段首项依次为所在段的首项的下标为13，且是该段中的第11项。在中，的前项为，且是该段中的第二项，这一段为中的第二段。由于共有段，每段中有个元素，故是第个元素。7. 四边形是菱形，是相应边的中点，表示四边形及其内部，面积为4。8. 向量过边中点，由已知，共线，所以是等腰三角形，。中点为，所以，轴，即，这样的函数有个。二、解答题9. 由已知，经过点且与圆相切的直线的斜率存在且不为0，切线的方程为，于是，即，两切线的斜率为，则。由得，对应的交点的纵坐标分别为和，所以。10. （1）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”. 因为，所以. 这与矛盾.有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，。所以有理数集是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以 .若，则，即.所以，即. 对任意一个“好集”，任取， 若中有0或1时，显然.下设均不为0，1. 由定义可知：.所以 ，即.， . 所以，即. 同理可得.若或，则显然，若且，则.所以 ，故，所以 。11. （1），故和同号，要使得恒成立，只需，得；（2）由（1）得，故，由得，得，故。一、由三点共线得，且，其中，故，所以，所以，共线；（2）设分别交边于点，且，其中，由（1）得，由共线得，得，故，轮换得，又由得，故，由轮换得，且，故由塞瓦定理，直线共点的充要条件是直线共点。二、当中之一为1时，结论显然，下设令左边为，显然，下设，则令显然，递减，且，故存在，使得，从而当时，即在上递增，在上递减，故。三、（1）0.7；（2）由已知，；故，（3）即，可由（1）、（2）得到；（4）即,（1）到（5）可化为，所以，故，当时，等号成立，故最大值为1；（3）显然，的最大值大于0，不妨假设，故；考虑同一列的两个元素之和；若，令，则，；若，令，则，；若，令，则，；所以，当取得最大值时，每一列中的两个元素至少有一个是1或1。将的列重新换位，使得第一行中前面连续的项都是1，根据上面的讨论，此时的矩阵形如，故，其中，由（1）和（4）得，即；由（2）和（3）得，即，所以，令，此时，