201206高等数学基础计算复习题考试题型：

201206高等数学基础计算复习题考试题型：,一、填空题（5小题，共15分）二、单项选择题（5小题，共15分）三、微积分学计算题 （每小题10分，共50分） 1. 2. 极限的计算 3. 4. 导数与微分的计算 5.不定积分的计算（分部积分）四、应用题（每小题10分，共20分） 1、利用定积分求平面图形的面积 2、最大最小值问题,三 微积分学计算复习题（每小题10分，共50分）, 计算函数极限的方法,1 重要极限,推广 P49 ：若u(x)0 且lim u(x) v(x)= A，则,2 有理分式在x时的极限规律 P46,设Pn(x)、Qm(x) 分别为n次、m次多项式，则,其中an、b m分别为Pn(x)、Qm(x) 最高次项系数。,3 常用的等价无穷小量 P51 x0时：,注 式中x=u(x)，只要u(x)0 结论成立。,4 代换法则 若lim u(x)/v(x)为“0/0”型未定式极限，且u(x) (x)，v(x)(x)，则,解 原式=,原式=,1 求极限,2 求极限,解 原式=,原式=,练习1：求极限,解 原式=,原式=,3 求极限,解,原式=,4、 求极限,解,原式=,5、 求极限,解,原式=,练习2： 求极限,解,原式=, 求导法,1 求导法则： 、 P67,2 复合函数求导法则： P71,3 基本初等函数求导公式 4 常用的复合函数求导公式 P66 设函数u=u(x)可导， P72,5 微分公式：,6、设函数 ，求dy,解,7、设函数 ，求dy,解,8、设函数 ，求dy,解,9、设函数 ，求dy,解,10、设函数 ，求dy,解,练习：1、设函数 ，求dy,解,练习2、 设函数 ，求dy。,解, 分部积分法 P121 推广的分部积分公式：,求导过程积分过程,推广的分部积分公式的常见类型*,其中u(x) 为二次多项式,11、计算不定积分,解,2x,2,0,*分部积分正弦形式：,原式=,求导过程积分过程,12、计算不定积分,解,2x,2,0,原式=,*分部积分余弦形式：,原式=,13、计算不定积分,解,1,0,原式=,*分部积分指数函数形式：,原式=,练习：1 计算不定积分,解,2x,2,0,原式=,练习2,解,2x,2,0,原式=,四、应用题（每题10分）1最值问题,题型：1） 体积最大，内接图形面积最大。 2 ）费用最省，材料最省。,实际问题求最值的步骤: P101 据已知建立函数关系式； 求函数的驻点； 只有唯一的驻点，说明驻点是极大(小)值点，则该点就是所求的最大(小)值点。,1、,要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。,解,设圆柱体容器底半径为r，高为h，表面积为S。则体积,材料最省即表面积最小,得唯一驻点, 圆柱体容器底半径为,才能使所用材料最省。,2,要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。,解,设圆柱体容器底半径为r米，高为h，建造费用为f元。则体积为,造价函数,得唯一驻点, 圆柱体容器底半径为,才能使建造费用最省。,3,解,在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。,设长方形底边长为2x,高为y, 面积为S 。则,得唯一驻点,当底边长为 ，此时高为 时面积最大。,yx,练习,解,得唯一驻点,在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。,设长方形底边长为x , 高为y . 面积为S。,所以当长方形底边长 ，此时高为 时面积最大。,x y,2求曲线所围成的几何图形面积的方法, 求交点，即解方程组； 写出定积分表达式， 即 其中a、b是由交点横坐标确定的。 用积分方法计算定积分。,4,解,求由抛物线 与直线 所围的面积。,(2，2),0,5,求由抛物线 与直线 所围的面积。,解,(-1,1) (2,-2),6,求由抛物线 与直线 所围的面积。,解,（2，2） （-3，-3）,一、选择、填空题：(共30，每小题3),（一）函数极限与连续：,1 函数的定义域*：P14 （填空题） 函数定义域的确定：使函数有意义的自变量取值全体。 定义域表示法： 不等式*、 区间。, 通常要考虑以下几点：P17a 在分式中，分母不能为零；b 在根式中，负数不能开偶次方根；c 在对数式中，真数必须大于零；,2 函数的奇偶性：P21 (选择题), 奇偶函数的定义*：P21 奇偶函数的图形特征* ： 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。 奇偶函数的运算*：P22 奇奇=奇， 偶偶=偶， 奇偶=非奇非偶 奇奇=偶，奇奇=偶， 偶偶=偶，偶偶=偶 奇偶=奇偶=奇, 函数的对应规则：P1921（填空题） 已知(x)、g(x),求g(x). 已知g(x). 求(x)。 已知分段函数(x)，求函数值。,* 要求：会判断复合函数的奇偶性。,记住 为奇函数。,4 无穷小量的判别（选择题）* 已知一个函数，判断它何时为无穷小量。* 已知自变量的变化趋势，判别哪一个变量为无穷小量。,注意: 奇偶函数的复合运算。P23* 常用的基本初等函数的奇偶性：, 奇偶函数复合性质： 奇（奇）=奇； 偶（奇）=偶； 奇（偶）=偶；偶（偶）=偶,3函数的连续性 （第2章）, 函数(x)在点x处连续定义：P55 简断点定义： 初等函数在其定义域内连续*。题型：已知分段函数在分段点连续，求参数k。注意：结合第一、第二个重要极限来做。,5计算简单的极限（选择题）,一、单选 14；二、填空、15,一填空题,1函数 的定义域是 。,2函数 的定义域是 。,3设 ，则 f(x)= 。,解：,解：,解：,4 函数 的连续区间为 。,解：,连续区间（，1）、（1，3）,（，1）（1，3）,二、选择题,1 下列函数中（ ）的图像关于坐标原点对称。,D,2下列函数中（ ）不是奇函数。,A,3下列函数中，其图像关于y轴对称的是（ ）。,解,利用若g(x)为偶函数， 无论f(x)为奇偶性如何，则f(g(x) )必为偶函数。,D,4下列极限计算正确的是（ ）。,C,解：,5 当x1时，（ ）为无穷小量。,D,解：,6 极限、连续、可导、可微的关系 （第3章） 极值点、驻点、不可导点的关系 （第4章）,(1) 极限连续可导可微, 极值点,驻点不可导点(导数不存在的点), 导数定义：P61 (1) P62 (2),7、8求切线、法线方程 P64-65,曲线y= f(x) 在x=x或点(x,y)处的切线方程：曲线y= f(x) 在x=x或点(x,y)处的法线方程：,9 简单复合函数的微分 如：d(cos3x) d(ex) 10 凑微分：判断所给的凑微分等式哪一个正确 （第3章）,11 （第4章） 判断函数在给定区间上的单调性、凹凸性。,函数单调性判别法：P92定理3.1函数凹凸性判别法：P94定理3.2,二、单选 59；一、填空、610，,解：,提醒：法线方程？,一、填空题6曲线 在 处的切线方程为 。,7. 设函数 可导，则dy= 。,解：,8. 设函数f(x)的一个原函数为sin2x , ,解：,9.（判断单调性、凹凸性）曲线 在区间(2,3) 内是 。,解,下降且凹,下降且凹,二、选择题6下列等式中，成立的是（ ）。,解：,B,解：,D,8.设f(x)在点x=x0 可微，且 ，则下列结论成立的是（ ）。,解： 驻点定义,A. x=x0是 f(x) 的极小值点 B. x=x0是 f(x) 的极大值点 C. x=x0是 f(x) 的驻点 D. x=x0是 f(x) 的最大值点,C,9曲线y=ex-x在(，0)内是（ ）A 下降且凹； B 上升且凹； C 下降且凸； D 上升且凸,解：, 选A,A,注：负指数,10. 曲线 在点M (4，2)处的法线方程为（ ） 。,解,A,思考：改为切线方程？,12原函数的概念 P110 （第5章） （1）已知f(x)的原函数，求 f(x)的导数； （2）已知 f(x) 的原函数，求不定积分。,题型：(1) 已知函数(x)的原函数F(x),求(x)的导数。 即 (2) 已知函数(x)的原函数F(x),求(x)的不定积分。 即,13利用第一换元法求积分 （第5章） P116 公式 (5-2-1),14（1）不定积分与求导的关系 （第5章） （2）定积分与求导的关系 （第6章）,15 对称区间上的定积分 P150 （第6章）,f(x)在（a, a)内为奇函数,f(x)在（a, a)内为偶函数,16 变限定积分：求变上限、变下限定积分的导数 (1) 公式：P144 （定理6.2.1） (2) 题型：求(x), (x)。,17判断常见类型的无穷限广义积分的敛散性 P153 （第6章）,一、填空 1115 二、单选 11