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文档简介

范数：用于度量“量”大小的概念1. 引言实数的绝对值：是数轴上的点到原点的距离；复数的模：是平面上的点到原点的距离；还有其他刻画复数大小的方法（准则）：如）；）2. 向量的范数：p-范数 （1）示例：3. 矩阵（算子）的范数 （2）矩阵的谱半径:设是阶矩阵，称 （3）为该矩阵的谱半径。记，那么， （3）4. 矩阵的条件数：用于刻画矩阵“病态”程度的概念5.利用范数定义点之间的距离向量的内积、范数及维空间距离的度量令是一数域，是上的向量空间，如果函数有如下性质：、共轭对称性：，；、非负性：，；、线性性：，；则称是上的一个向量内积（inner product），向量空间上的向量内积通常用符号表示，定义了内积的向量空间称为内积空间（inner product space）。记做表示。例，容易验证函数（）定义了上的一个内积。令是一数域，是上的向量空间，如果函数有如下性质：、非负性：，；、齐次性：，；、三角不等式：，；则称是上的一个向量范数（norm），向量空间上的范数通常用符号表示。定义了范数的向量空间称为赋范空间（normed space）。记做表示。例，容易验证函数 （）定义了上的一个范数，这样定义的范数称为由内积（）诱导的范数。例上常用的向量范数：，、范数：；、范数：；、范数：；令是一数域，是上的向量空间，如果实值函数有如下性质：、对称性：，；、非负性：，、三角不等式：，；则称是上的一个距离（函数）（distance function）或度量（metric），定义了度量的向量空间称为度量空间（metric space），记做表示。例4上常用的（由范数诱导的）度量：，、范数诱导的度量：；、范数诱导的度量：；、范数诱导的度量：；矩阵的范数矩阵是线性映射（当时为线性变换）的一种表现形式。因此，除了可以把矩阵看做向量而定义其范数外，更为基本、更为重要的是表征其线性映射的算子范数（operator norm），以的情况为例：（）其中（）右端的范数是赋范空间中向量的范数，由矩阵算子范数的定义（）容易证明（对映像大小的估计）不等式：， （）称满足不等式（）的矩阵范数是与对应的向量范数相容的。例常用的矩阵范数：、范数（列范数）： ；、范数（谱范数）： ；、范数（行范数）： ；上述三种范数是如下定义的矩阵范数的特例：、由向量的范数：，定义：（）、
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