圆锥摆及其变形.doc

“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石 细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图1所示。 “圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。一、受力分析FOGTml图1O如图1所示的圆锥摆，小球在水平面内做匀速圆周运动，共受到重力G和悬线上拉力T两个力作用，这两个力的合力F沿水平方向指向圆周运动的圆心O，它作为小球做匀速圆周运动的向心力。若悬线长为l，小球的质量为m，悬线与竖直方向的夹角为，则向心力Fmg tan。二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tanm2r，其中rl sin，代入整理，得到其角速度：。根据这一表达式，进行如下讨论：当悬线长度l一定时，即悬线与竖直方向的夹角随着小球角速度的增大而增大。若悬线的长度l和悬线与竖直方向的夹角均不相同，但是l和cos的乘积l cos相同，则角速度就相同，乘积l cos实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m和悬线长度l各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度就一定相同。图2小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。当悬线与竖直方向的夹角0时，得到角速度0，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。即只有当时，悬线才会被拉直，小球在水平面内做圆锥摆运动；如果，小球不会在水平面内做圆锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动，如图2所示）。三、变形根据圆锥摆的受力特点和运动特点，可以将其进行如下几种变形：OGNFO图31、小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示。受力分析：这时小球在重力G和圆锥面对它的支持力N（相当于圆锥摆中悬线的拉力T）的合力F提供小球做匀速圆周运动的向心力。与圆锥摆比较：由于圆锥面的顶角为一定值，根据Fmg ctgma，得小球的向心力速度ag ctg，可知所有在此圆锥面内做匀速圆周运动的小球，都具有相同大小的加速度；再由向心加速度公式：a2r，可知小球圆周运动的轨道半径r越大（即离开圆锥顶点O越远），线速度v越大，角速度越小。图4GNTOO3、细线一端系一小球，另一端固定于光滑圆锥面的顶点，小球在水平面内做圆周运动，如图4所示。受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G、细线对它的拉力T和圆锥面对它的支持力N。这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。与圆锥摆比较：当角速度较小时，小球将沿圆锥面运动，此时分别将N和T分解到水平方向和竖直方向，列出方程：水平方向 TsinNcosm2r ，竖直方向 Tcos+Nsinmg0 。不难看出，随着角速度的增大，圆锥面对小球的支持力N将减小；当角速度增大到时，圆锥面对小球的支持力N将减小到0，这是一个临界状态；如果继续增大角速度，小球将脱离圆锥面运动，这时其规律与圆锥摆就没有区别了。图5NGTOO如果将这种情况中的圆锥面去掉，而紧贴着小球的运动平面加一个光滑水平面，如图5所示。小球在水平面内做匀速圆周运动时的受力情况、运动情况以及临界状态的分析，都同这种情况相似；所不同的是将原来的圆锥面对小球斜向上的支持力，改成现在水平面对小球竖直向上的支持力而已。 3、用两根细线，其一端系着一个小球，另一端系在一根匀速转动的竖直杆上的两点上，小球在水平面内做匀速圆周运动，如图6所示。受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G、细线AB对它的拉力T1和细线BC对它的拉力T2。这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。与圆锥摆比较：当角速度较小，即当时，小球不会在水平面内做圆周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，如图7所示。图8ABOOT1CG图6ABOOT1T2图7CABCG当角速度在下列范围：，细线AB将被拉紧，而细线BC则处于松弛状态，这时情形与原始的圆锥摆相同，如图8所示。当角速度时，两根细线都将被拉紧，也就是象图6中的情形了。有兴趣的同学还可以进一步讨论：这时细线AB和BC哪根线上拉力较大？如果两根细线的规格是相同的，则随着角速度的不断增大，