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文档简介

为X的分布函数 c d f 也常记为 设X为r v x是任意实数 称函数 一 定义 注 用分布函数计算X落在 a b 里的概率 2 3 随机变量的分布函数及其性质 1 定理1 分布函数的特征性质 1 非降性 F x 是单调非降函数 即 3 右连续性 F x 右连续 即 2 有界性 即F 1 F 0 2 证明 1 2 3 3 由于F x 为单调非降函数 只须证明对于一 4 用分布函数表示概率 5 注2任一函数F x 为分布函数的充分必要条件为 F x 满足上述三条性质 注1分布函数也可定义为 应改为左连续性 这样定义的分布函数仍满足性质1 3 但性质3 例F x G x 为两个分布函数 为一分布函数 证明 6 例1设离散型随机变量X的概率分布为 1 求X的分布函数F x 并画出F x 的图形 2 求 二 举例 7 解 1 由于X只可能取 0 1 2 故 当x 0时 当0 x 1时 当1 x 2时 当2 x时 从而归纳上述结果得 8 或 9 满足分布函数的三条基本性质 一般地 若离散型随机变量X的分布律为 从图形上可以看出F x 的单调非降右连续的函数 10 称为单位阶梯函数 也称为Heavyside函数 则其分布函数为 11 值得注意的是 F x 是 上的分段阶梯函数 开区间外 其余各段都是左闭右开的区间 间断点就是随机变量X的取值点 除最左边那段是 特别地 若随机变量以概率1取常数 即 则称这个分布为单点分布或退化分布 它的分布函数为 12 例2向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点 以X表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比 试求X的分布函数 解当x 0时 当0 x 1 可得 其中k为比例常数 又因为P 0 X 1 1 故k 1 当x 1时 13 综上所述 X的分布函数为 14 总结 一 定
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