弹簧振子实验中的方法解析.doc

弹簧振子实验中的方法解析韩跃武（贵州广播电视大学 贵阳 550004）摘要：本文分析了弹簧振子实验中测量周期时使用的累计法和数据处理时使用的逐差法、最小二乘法，目的是加强“方法”教学；同时用弹簧串联改变k值的方式测量了一组k的数据，数据处理的结果表明：简谐振动周期公式与实验数据基本相符，可以把弹簧振子的运动近似为简谐振动，但这也只能在一定条件下成立。关键词：弹簧振子方法解析Analysis of Method in Spring Oscillator ExperimentHan Yue-wu( Guizhou Redio & TV University, 550004) Abstract:This text explains the accumulative method , step by step subtraction method and minimum two multiplication method in the spring oscillator experiment. The purpose is to strengthen teaching of methods, the k data is measured by changing the k value with spring getting conneted in a series, the result of data process shous that the equation of harmonic oscillatory motion almost agrees with the experiment data ,spring oscillator motion is similar to harmonic oscillatory motion on certain conditions.Key words: spring oscillator, analyzes of method弹簧振子由一根轻质弹簧和一个质量为m的物体（砝码）所组成，图（）为水平放置的弹簧振子，可在气垫导轨上实现；图（）为竖直悬挂的弹簧振子，只要找一固定悬挂点就可实现，本实验就是利用这种弹簧振子完成的。 图（1） 图（2）实验内容为：、测量弹簧的倔强系数；、测量周期与质量的关系；、验证周期公式。下面结合具体的实验内容，重点分析实验和数据处理中的各种方法。一、 测量弹簧的倔强系数，用逐差法1处理数据测量弹簧的倔强系数我们使用的是静力平衡的办法：在弹簧下端依次加挂质量为m的砝码，待砝码静止后，测出砝码在固定标尺上的对应坐标值x，然后用逐差法求出倔强系数。为此我们先介绍逐差法。逐差法是实验数据的一种处理方法，根据数据处理目的的不同可以分为逐项逐差法和分组逐差法两种，前者主要用来判断数据的线性关系是否成立，后者主要用来求线性方程的系数。逐差法的使用条件是： 1、x、y之间的关系可以表达为多项式形式。例如： ya+bx,ya+bx+cx2.2、自变量必须等间距变化，且较因变量有更高的测量准确度，以致自变量的测量不确定度可忽略不计。下面以倔强系数的测量为例，介绍分组逐差法。表一为用静力平衡的办法测得的一组数据.分组逐差法处理数据分为三个步骤：第一步是将数据分为上半组和下半组；第二步是将上半组数据与下半组数据对应相减；最后是求平均值。表二就是用分组逐差法处理表一的数据的示例。表一： 静力平衡法测弹簧的倔强系数 序数i 1 2 3 4 5 6 mi (g) 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 xi (cm)29.5332.8536.14 39.45 42.77 46.05表二： 分组逐差法处理表一中的数据序数i 1 2 3 平均值 xi (cm) 29.53 32.85 36.14 x3+i (cm)39.45 42.77 46.05 xi=x3+i-xi (cm) 9.92 9.92 9.91 9.917mi=m3+i-mi (g) 60.0 60.30 60.0 60.0 k= =60.0*10-3*9.8/9.167*10-2=5.925N/m二、累计法测量周期累计法是实验中使用的一种测量方法，能有效地提高测量的精密度。为了说明累计法对提高测量的精密度的作用，我们先分析一组数据，见表三。该组数据是在同一条件下对弹簧振子的周期作十次重复测量的结果。表三： 用电子秒表测量弹簧振子的周期 电子秒表分度值：0.01s序数i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ti(s)1.501.471.501.431.471.591.561.471.381.50 =1.487s n-1 = =0.06s =电子秒表的仪器误差 仪=0.01s，我们取A=n-1=0.06s ， B=仪=0.01s ，可见用电子秒表测量弹簧振子的周期，周期测量值的总不确定度主要取决于A类不确定度，即手动计时产生的随机性误差，这一随机性误差，主要是由于按秒表的计时动作，超前或滞后砝码振动过平衡点这一计时起点和终点而产生的，我们取n-1=0.18s0.2s 为周期测量列的A类不确定度的最大限值，即正常情况下，单次测量周期，测量值的A类不确定度的最大限值为 0.2s ,习惯上我们称其为手动计时误差。这是我们指导实验长期使用的一个经验数据。根据统计理论2，此时单次测量周期，测量值落在(-0.2, +0.2)范围内的概率不小于99.73%。累计法测周期分为两步：一是测出弹簧振子完成N次全振动所用的时间t ；二是用公式计算周期，公式为：T = t/N 。下面我们比较两种测量结果的优劣程度。作单次测量，周期的A类不确定度的最大限值为0.2s ；累计法测周期，周期的A类不确定度的最大限值为AT.2/N 。 如果取40， AT0.005s ，可见，累计法测周期可大大地提高测量的精密度。不过需要指出的是，累计法的使用是有条件的，关键是待测量能够等值累加。累计法测周期的前提是周期的等值不变性。这一点弹簧振子可满足这一要求，下面的周期都是用累计法来测量的，累计次数为次。另外，在实际测量中许多地方都可以运用累计法，例如：用天平测一粒小钢珠的质量，用米尺测一根金属丝的直径，用米尺测一页纸的厚度等，这些都可以使用累计法进行测量。三、最小二乘法3从测量数据中寻求经验方程或提取参数，称为回归问题，是实验数据处理的重要内容。用作图法获得直线的斜率和截距就是回归问题的一种处理方法，但描点后的连线带有相当大的主观成分，结果会因人而异；用逐差法求多项式的系数也是一种回归方法，但它又受到自变量必须等间距变化的限制。下面介绍处理回归问题的又一种方法最小二乘法。假定变量x、y之间存在着线性关系，回归方程为一条直线y = a + bx （1）由实验测得的一组数据为 xi ,yi (i=1,2,3 n) ，我们的任务是根据这组数据拟合出一条直线，使之代表xi ,yi的变化规律，即确定线性回归方程（1）的系数a和b。为此，我们引入测量值yi与回归方程函数y的偏差i= y - yi = y -（a + bxi） (i = 1,2,3,n)对上式两边平方取和，并以s表示i得：s = = -（）最小二乘法的原理就是:当 s 为最小值，这时的直线：y = a + bx就是我们要拟合的最佳直线。换句话说，我们用这种方法得到的直线，克服了作图法连直线的主观因素，得到了能够代表所有测量点的最佳直线。下面按照函数取最小值的条件来确定回归方程的系数a和b。 整理后得： -（3）其中 ， ， ，0解方程组（3）得： -（4） 利用（4）式，我们就可以拟合出一条最佳直线。必须指出，只有当x、y之间存在线性关系时，拟合的直线才有意义，为了检验拟合的直线有无意义，在数学上引进一个叫相关系数r的量，其计算公式为： -(5) r表示两测量量与线性函数的符合程度。r越接近于1 ，xi ,yi 的线性关系就越好；如果它接近于0，就可以认为xi ,yi 之间不存在线性关系。物理实验中，如果r达到0。999，则说明实验数据的线性关系良好。用（4）式和（5）式计算回归方程的系数和相关系数是比较复杂的，好在一般档次较高的计算器都有回归计算的功能,回归计算就变得简单多了。下面的数据是用CASIO fx-82TL计算器处理的。 表四： 测量弹簧振子质量m与周期T的关系 弹簧的倔强系数k = 5.929 N/m序数i 1 2 3 4 5 6 mi（g） 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 Ti (s) 0.4490 0.5805 0.6838 0.7750 0.8555 0.9305 Ti2 (s2) 0.2016 0.3370 0.4676 0.6006 0.7319 0.8658 假设： m = a1 + b1T - (6) m = a2 + b2T2 - (7) 将上表中的数据输入计算器，可得： a1 = 11.839 (g) ,b1 = 59.166 (g/s) , r1 = 0.9945 a2 = -10.59 (g) ,b2 = 150.90 (g/s2) , r2 = 0.99999需要说明的是方程（7）中的T2相当于方程（1）中的 x 。从数据计算结果上看，我们有以下两点分析：其一，方程（6）的相关系数也是比较高的，为r1= 0.9945， 但还是低于方程（7）的相关系数r2 = 0.99999。究其原因，是我们所测数据处于 抛物线的一小段，而该段曲线的弯曲不大所致，其二，我们所得到的回归方程为： m = -10.59 + 150.90T2 -(8)与理论公式： m = - me + = -me + 150.18 T2 -(9)具有完全相同的形式，对比方程（8）和（9）的对应项系数，可得：有效质量me = 10.59(g),这为我们测量弹簧振子的有效质量提供了一种方法，与作图法相比较，在有计算器的条件下，这种方法就简单多了，而且准确唯一。四、周期公式的进一步验证作为一个设计性的实验，通过上面的分析，我们认为回归方程与理论方程是比较吻合的，但如果据此认为我们已从实验数据找到了周期公式，似乎有点难以使人信服，因为T与k的关系我们并未测量，所以有必要研究一下T与k的关系。是否可以测出一组Ti ,ki的数据，通过回归分析的方法来检测一下T与 k 的关系呢？答案是否定的，究其原因是弹簧的倔强系数k改变，相应的me也跟着变，方程： -（10）中的 T2 与 不是线性关系，这就是为什么我们查阅了许多的实验指导书，没有一本谈及如何验证 T2 关系的原因。下面我们试图分析一下如何通过实验来验证周期公式中T与k的关系。将周期公式平方后移项得： -（11）我们是通过验证方程（11）来验证T与k的关系的。具体方法是通过弹簧串联的方式获取不同的k 值，同时测出相应的 T 和 me ,数据填入下表。 表五： 验证周期公式中弹簧振子倔强系数k与周期T的关系序数 i 1 2 3 4 5 6ki (N/m) 5.929 3.914 2.904 2.322 1.960 1.672me i(g) 10.59 16.22 21.80 27.74 33.46 40.74 Ti (s) 0.6838 0.8743 1.04381.2093 1.3555 1.5070 (g) 70.22 75.79 80.14 86.02 91.22 96.19 m + me i (g) 70.59 76.22 81.80 87.74 93.46 100.74对比上表中第4行和第5行的数据，可见上下两行数据是比较接近的，这说明方程（11）与实验结果是相符的。同时我们也注意到，随着弹簧串联个数的增加，k值的减小，第三行数据与第四行数据的差值是在增大的，究其原因，主要是弹簧串联过长，使得me和k的 测量值的误差过大所致。通过上面的分析，首先我们觉得实验中有许多的实验方法和数据处理方法有待我们进一步去归纳和总结，这将是一件非常有意义的工作。其次，实验与理论相比较，实验的对象比理论