矩阵初等变换的一些典型应用.doc

矩阵初等变换的一些典型应用本科毕业论文（设计）矩阵初等变换的一些典型应用III目 录摘 要IIAbstractIII1 预备知识12 典型应用12.1 行列式的计算12.2 求矩阵或向量组的秩32.3 求可逆矩阵的逆矩阵42.4 解矩阵方程52.5 判定向量组的线性相关性，确定极大无关组、向量的线性表示62.6 求任一向量在任一个基下的坐标82.7 求子空间的和与交的维数92.8 判断两个向量组是否等价102.9 求齐次线性方程组的基础解系并求解非齐次线性方程组102.10 求过渡矩阵122.11 化二次型为标准型122.12 其它一些应用133 小结14参考文献15致谢辞16摘 要本文分三部分:预备知识,典型应用,小结.先是引述我们学过的矩阵的定义及本文要涉及的相关内容,以便为下文提供依据;接着综合罗列了矩阵在行列式的计算,求矩阵或向量组的秩,求可逆矩阵的逆矩阵,解矩阵方程,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,向量的线性表示等各方面的一些典型应用.关键词:矩阵,秩,逆矩阵,初等矩阵,初等变换,应用AbstractThis article is divided into three-part:knowledge preparation,typical appli-cations,summarise. First, we give the definition of the matrix and its involves the relevant content in order to provide the basis for the following; then in-tegrated gives about matrix in determinant,the rank of matrix and vector,the inverse matrix of invertible matrix、solve matrix equation,determine the linear correlation of vector group,enormous linear independence group,vector of the linear representation and so on,which are some typical applications of elementary transformation of matrix.Key words:Matrix,Rank,Inversematrix,Elementarymatrix,Elementary transfor-mation,Applications矩阵初等变换的一些典型应用1 预备知识定义1 由个数排成的一个行列的表叫作一个行列(或)矩阵.叫作这个矩阵的元素.定义2 矩阵的行(列)初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换:1)交换矩阵的两行(列);2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行(列),即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素;3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）,即用某一数乘矩阵的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的对应元素上. 矩阵的行初等变换和列初等变换统称为矩阵的初等变换. 定义3 把以下三种方阵叫做初等矩阵:1)交换阶单位矩阵的,两行(列)得到的矩阵,记为;2)将阶单位矩阵的第行(列)乘以非零常数所得到的矩阵,记为;3)将阶单位矩阵的第行的倍加到第行(第列的倍加到第列)所得到的矩阵,记为.初等矩阵与初等变换的关系:对于一个矩阵施行一个行(列)初等变换相当于把这个矩阵左乘(右乘)以一个初等矩阵.定义4 令是数域上一个阶方阵.若是存在上阶方阵,使得,那么叫做一个可逆矩阵(或非奇异矩阵),而叫做的逆矩阵. 若矩阵可逆,那么的逆矩阵由唯一决定,用来表示.2 典型应用2.1 行列式的计算引理1 如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例,那么这个行列式等于零.引理2 任一行列式的值等于此上(下)三角形行列式的主对角线元素之积.一般通过矩阵的第三种初等变换的方法使所求行列式的某两行(列)的对应元素成比例或化为三角形(上三角形、下三角形),从而简便计算.例1 计算行列式: (1);(2)(阶),为任意数.解 (1) ;(2) 2.2 求矩阵或向量组的秩定理1 初等变换不改变矩阵的秩. 定理2 一个矩阵总可以通过初等变换化为以下形式：这里是阶单位矩阵,表示的零矩阵,等于的秩.用矩阵行初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵,阶梯形中非零行行数即为所求矩阵的秩.在此过程中也可用列初等变换或者两种初等变换同时使用. 求向量组的秩只要把向量组写成一个矩阵,该矩阵的秩就是向量组的秩.例2 求矩阵的秩.解 矩阵.因为行阶梯形矩阵有3个非零行,所以的秩为3.2.3 求可逆矩阵的逆矩阵定理3 初等变换不改变矩阵的可逆性.定理4 一个可逆矩阵可以通过行初等变换化为单位矩阵.证 设为阶可逆矩阵,则可以写成若干个初等矩阵的乘积.令,其中是初等矩阵.于是.又也是初等矩阵,所以左乘若干个初等矩阵为单位矩阵.因而可以通过行初等变换化为单位矩阵.证毕.推论 一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵.定理5 在通过只用行初等变换(列初等变换)把可逆矩阵化为单位矩阵时,对单位矩阵施行同样的初等变换,就得到的逆矩阵.由定理5可知,将阶可逆矩阵的右边加入一个单位矩阵,变成矩阵，只用行初等变换,使得中的位置化为单位矩阵,则的位置变成了的逆矩阵,即.还可以把置于的下方变成矩阵且此时只能使用列初等变换把的位置化为单位矩阵,则的位置变成了的逆矩阵.例3 求的逆矩阵.解 构造矩阵=.于是.2.4 解矩阵方程若矩阵方程的形式是(是可逆矩阵),可得.现构造一个全矩阵,对它进行矩阵的行初等变换,把矩阵的位置化为单位矩阵时,矩阵的位置即变为.例4 设,求使得.解 由,知可逆.于是.则.2.5 判定向量组的线性相关性，确定极大无关组、向量的线性表示当向量组的秩小于向量的个数时,向量组线性相关;当秩等于向量的个数时,向量组线性无关.因此可以通过求向量组的秩判定向量组是线性相关还是线性无关,同时确定极大无关组.以向量组与向量为列构成矩阵,然后对只施行行初等变换,化为行最简形矩阵,即行最简形矩阵.看的最后一列能否由前面各列表示.若能,则由线性表示的系数跟的最后一列由它前列线性表示的系数一样.例5 判定向量组,的线性相关性,并求出一个极大无关组,把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.解 以向量组为列构造矩阵 .知的秩为3,故向量组线性相关,而极大无关组含3个向量.且3个非零行的非零首元在1,2,4列,故为一个极大无关组.为把用线性表示,把再变成行最简形矩阵.把上面行最简形矩阵记作.由于方程与同解,因此向量与之间有相同的线性关系.现在,.因此有,.2.6 求任一向量在任一个基下的坐标在维向量空间中,以任一基的与任一向量为列构成矩阵,然后对只施行行初等变换,化为行最简形矩阵,即,其中是阶单位矩阵,则在基下的坐标为.例6 求向量在基下的坐标,其中,.解 以为列构成矩阵.所以,向量在基下的坐标为.2.7 求子空间的和与交的维数在中设,欲计算与的维数.先以所有向量为列构造矩阵,利用行初等变换求中列向量组的极大无关组,从而得到的一个基,基中向量个数即为的维数.再由即可得的维数.例 求子空间与的交的基与维数,其中.解 以为列构造矩阵由可得是的一个基, 是的一个基.于是,.又,知是的一个基,则.因此.2.8 判断两个向量组是否等价判断向量组与是否等价,以为列先构造矩阵.对,作行初等变换化为阶梯形矩阵,分别得到向量组、和矩阵的秩.若秩()=秩(),则向量组可由向量组线性表示;同样若秩()=秩(),向量组可由向量组线性表示.因此当秩()=秩()=秩()时,向量组与向量组等价.2.9 求齐次线性方程组的基础解系并求解非齐次线性方程组求线性方程组的解可以采用对增广矩阵作行初等变换的方法,把矩阵化为阶梯形矩阵,由与的秩是否相等来判断它是否有解以及有解时是有唯一解还是无穷多解.在此过程中只能对增广矩阵作行初等变换,不可作列初等变换.从而求方程组的基础解系和通解.例7 求解齐次线性方程组 解 方程组的系数矩阵所以与原方程组同解的方程组为 其中为自由未知量.依次令和代入方程组得基础解系，于是原方程组的全部解为(为任意常数).例8 求解非齐次线性方程组 解 方程组的增广矩阵与原方程组同解的方程组为 其中为自由未知量.取得一特解:.取代入 得对应齐次线性方程组的基础解系:.于是原非齐次线性方程组的解为(为任意实数).2.10 求过渡矩阵已知维向量空间的两组基分别为,.以和为列构成矩阵,对只施行行初等变换,使它变为如下形状:上式中的位置即为从基到基的过渡矩阵.例9 设;是3维向量空间的两组基.求从基到基的过渡矩阵.解 以,为列构成矩阵,对只施行行初等变换,使它化为如下形状:所以从基到基的过渡矩阵为:.2.11 化二次型为标准型用初等变换法把二次型化为标准型,是对矩阵施行列初等变换的同时对的位置施行相应的行初等变换,把的位置化为对角阵时,的位置就化为所要求的非奇异变换矩阵.例10 用初等变换法化二次型为标准型.解 二次型的矩阵为.构造矩阵=.的标准型为,变换矩阵为. 2.12 其它一些应用定理6 一个阶矩阵总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵,并且.定理7 行初等变换不改变任一的列向量的线性关系.即:假设对施行行初等变换得到,且的列向量分别为和,则：(1)任意数,当且仅当;(2)线性相关当且仅当线性相关.证 (1)由行初等变换的定义知道方程组与方程组同解.因此,若,则有.其中.反之亦成立.(2)由(1)的证明和向量线性相关的定义即可得:线性相关当且仅当线性相关.证毕.推论 列初等变换不改变任一的行向量的线性关系. 3 小结矩阵是线性代数的重要研究对象,矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具.本文系统地归纳了矩阵一系列的典型应用,列举了利用矩阵初等变换可以求行列式的值,求矩阵或向量组的秩,求可逆矩阵的逆等计算实例,方便我们遇到各种情形时的求解.参考文献1张禾瑞，郝鈵新.高等代数M.北京:高等教育出版社,2005.2欧启通.矩阵初等变换的应用J.甘肃联合大学学报,2007,1(3)26-30.3谢芳.矩阵初等变换的若干应用J.昭通师范高等专科学校学报,2004,26(2)51-55.4谭军.矩阵初等变换的一些性质及应用J.郑州航空工业管理学院学报,2002,20(4)71-73.致谢辞本文是在黄志华老师的亲切关怀和悉心指导下完成的.他严谨的治学精神,精益求精的工作作风,