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基于蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题研究STUDYONTHEPRICINGOFTHEEUROPEANOPTIONSBASEDONMONTECARLOALGORITHM专业：2010信息与计算科学指导教师姓名：申请学位级别：学士论文提交日期：摘要近年来，随着全球经济飞速的发展，金融市场在社会经济领域中的地位也在不断的上涨。与金融市场相适应的一些金融衍生品也孕育而出，而对于它们的分析研究也就显得尤为重要，其中期权更是在金融市场中占有一席之地的。众所周知，期权又被称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。其中欧式期权则是最具代表性的期权，不管是在理论价值还是在经济意义上，都是非常值得研究的。本文以欧式期权为研究对象，基于蒙特卡洛算法并利用Matlab软件编写相关程序。本文针对基于蒙特卡洛算法下的欧式期权定价问题进行研究，在研究上共分为五章。第一章为绪论部分，重点阐述了文章的研究背景、研究意义以及国内外研究现状。第二章是预备知识，主要介绍了文章所用到的基础理论知识，例如蒙特卡洛算法、欧式期权、Black-Scholes模型的概念。第三章建立模型，利用蒙特卡洛算法生成欧式期权定价公式，进而得到基于蒙特卡洛算法下的欧式期权价格。第四章为蒙特卡洛算法改进方法，主要是阐述了改进后的拟蒙特卡洛模拟算法，结合了Halton偏低差序列后，使得期权价格更接近欧式看涨期权价格的真实值。第五章为结论，是对本文的研究结果进行总结。关键词：蒙特卡洛算法；欧式期权定价；方差缩减技术ABSTRACTInrecentyears,withtherapiddevelopmentofglobaleconomy,socio-economicstatusofthefinancialmarketisconstantlyrising.Financialderivativesthatareassociatedwiththefinancialmarketsalsobredout.Soitisparticularlyimportanttoanalyzethemespeciallyforoptions.Itiswellknownthattheoptionsarealsoknownaschoices,whicharederivativefinancialinstruments.ItisveryworthyofstudyingEuropeanoptionbothintheoreticalvalueandinaneconomicsensewhichisthemostrepresentativeoftheseoptions.ThispaperisconcernedonEuropeanoptionbasedonMonteCarloalgorithm,andpreparestherelevantproceduresbyusingMatlabsoftware.Theorganizationsofourstudyareasfollows.Thefirstchapterfocusesonthearticlesbackground,significanceandresearchstatusathomeandabroad.Thesecondchapterisonpreknowledge,introducesthearticlesusedbythefoundationoftheoreticalknowledge,suchasMonteCarloalgorithm,EuropeanoptionsandBlack-Scholesmodelsconcept.Thethirdchapterisonmodeling,usingMonteCarloalgorithmtogenerateEuropeanoptionpricingformula,whichreceivedEuropeanoptionpricingbasedonMonteCarloalgorithm.ThefourthchapterisonMonteCarloalgorithm,mainlyontheimprovedalgorithmofquasi-MonteCarlosimulation,combinedwithlow-discrepancysequencesHaltonwhichcanmakeoptionpricesclosertoEuropean-stylecalloptionpricingtruevalue.Thefifthchapterisonconclusionanditisthesummaryoftheresultsofthisarticles.Keywords:MonteCarloalgorithms；Europeanoptionpricing；Variancereductiontechnology目录1引言.11.1研究背景及研究意义.11.2国内外研究现状.11.3本文研究内容及研究结构.22基础知识.42.1蒙特卡洛算法.42.1.1蒙特卡洛算法简介.42.1.2蒙特卡洛算法的基本原理.52.1.3蒙特卡洛算法的效率.62.1.4蒙特卡洛算法的优缺点.72.2关于期权的一些介绍.82.2.1期权的概念.82.2.2期权的分类.82.2.3期权价值.92.2.4期权价格的影响因素.102.2.5期权的交易原理.122.3期权的定价模型.122.3.1欧式期权定价模型介绍.122.3.2B-S期权定价模型的建立.122.3.3风险中性期权定价模型.143基于蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题实现.174蒙特卡洛算法的改进.214.1缩减方差技术.214.1.1控制变量法.214.1.2对偶变量法.224.2拟蒙特卡洛算法.23结论.28参考文献.29致谢.30天津科技大学2014届本科生毕业论文1引言1.1研究背景及研究意义众所周知，在当今21世纪，全球经济都处于一种不断攀升的状态，在我国更是如此，一个国家的兴衰与它的经济状况是紧密相连的，于是在这种大背景下，就衍生出了很多金融衍生品。金融衍生产品，顾名思义，它是金融产业的派生物，是一种金融工具。金融衍生产品事实上可以称之为一种合约，它的价值是依赖于基础资产的，随基础资产价值的变动而变动。它在国际上的分类也是有很多种的，目前主要是依据产品形态、原生资产和交易方法分类的，本文主要研究的是依据产品形态的分类，大致可分为远期、期货、期权以及互换四类，而在这四类中，大多数人更关注期权。金融产业依照其自身特点，本来就是高风险的，而为了规避这种风险，期权就应运而生了，纵观历史发展，早在圣经.创世纪和17世纪荷兰郁金香炒作事件中，期权的概念就已频频出现了，18世纪时，欧洲和美国则相继出现了有组织有纪律的期权交易及股票期权，直到1973年4月26日，标志着期权时代真正开始的世界第一家期权交易所芝加哥期权交易所诞生了，同年，FisherBlack和MyronScholes发表论文期权定价与公司负债使得期权定价难题迎刃而解，这便是著名的Black-Scholes模型。然而在Black-Scholes模型中，无风险利率、红利率、股票波动率均为常数，这显然不符合现实，现实中的期权不仅形式多变，而且利率也是随机的，其标的资产的市场价格更是受各方面因素的影响，所以说Black-Scholes模型是具有局限性的，并且毫无疑问大量事实表明通过Black-Scholes模型得到的期权价格与市场实际价格是有一定差异的，在对Black-Scholes模型改进的过程中，有几种最为主要的期权研究方法相应而出，分别为：蒙特卡洛法、倒向随机微分方程法、鞅方法、二叉树法以及有限差分法。本文主要用到的是早在19世纪就已被提出的蒙特卡洛法，蒙特卡洛法即为利用计算机生成大量随机数，进而模拟标的资产的随机运动，得出相应的期权收益，并将此收益依照无风险利率进行贴现，再得到多次贴现后的平均值，最终得出期权估计值的方法。值得一提的是，相较于其他数值方法，蒙特卡洛方法的收敛速度与维度无关且计算速度快，同时又降低了成本。1.2国内外研究现状期权定价问题是受到全球金融界瞩目的复杂研究问题之一，主要还是表现在应用数学方面。现如今，在金融史上最具历史性意义的金融期权的定价模型最初是由布莱克(FisherBlack)及斯科尔斯(MyronScholes)在1973年发表于美国的著名政治经济学杂志上的一篇文章中提到的，文章名称为期权定价与公司债务。他0天津科技大学2014届本科生毕业论文们在研究最初的推导过程之前，做了一系列的基本假设，在这些假设条件下他们推导出了著名的Black-Scholes模型微分方程以及期权定价公式，之后R.Merton则对该模型做出了相当重要的推广和改进。这样就使得Black-Scholes模型能够适用于更加广泛的金融行业衍生产品，并且可以适用于更加宽松同时更加普遍的经济金融环境中。下面，我们举个例子来说明这一点，针对于传统的Black-Scholes模型，股票假设为是不具有红利的，R.Merton则对此进行了改进，并且他从另一方面重点提出了针对于存在红利的股票使用的特殊期权定价模型。然而，在我国境内，目前关于金融期权定价理论方面的研究仍处于刚刚起步的阶段。早在1997年中，诺贝尔经济学奖授予M.Scholes和R.Merton后，我国就已经开始掀起了关于金融衍生工具的研究热潮，自此开始，我国也不断地有专著，译著和与金融衍生物话题相关的论文问世。程松林，刘三明1专家结合Black-Scholes模型，用蒙特卡洛方法模拟了期权定价的相关问题，进而更加深入的讨论了关于金融期权定价的理论研究模型。姜礼尚、茅宁等人也相继著有专著来研究讨论有关期权及其应用的一些相关问题。牟旷凝4则是探讨了拟蒙特卡洛方法相较原始蒙特卡洛方法应用于金融期权定价问题的优势。徐博驰和田波平副教授5也研究了随机冲击环境对于金融市场上期权定价的影响，并指出了Black-Scholes模型是存在一定的局限性的。近十几年来随着倒向随机方程研究的快速发展，也使得倒向随机微分方程在金融领域的应用受到越来越广泛的关注。中国山东大学的罗晨曦10在彭实戈教授的指导下也为此领域做出了重要贡献，彭实戈教授利用倒向随机微分方程得到Feynman-Kac公式，该公式在金融数学领域里有着广泛的应用。解决欧式期权定价问题主要应用是数值方法，解决欧式期权定价问题的数值法主要有三种,分别是由Cox、Ross和Robinstein于1979年提出的二叉树图法，有限差分方法以及蒙特卡洛模拟算法。蒙特卡洛模拟算法在学术界上来说正式诞生是在1949年，由N.Metropolis和S.Ulam提出。但是事实上，在美国，国家国防部早在1949年之前就已经在非常多的机密的工程中多次使用过这种方法了。同时，针对于解决欧式期权问题的数值方法，国内的研究人员对于这类方法已经提出了很多有效的改进意见，例如李东等人利用小波的方式来计算美式看跌期权的定价，张铁等人使用了有限元方法计算得出了美式期权的定价。同济大学的姜礼尚教授等人对美式期权的二叉树法的收敛性问题也做出了研究，同时，他对于多个资产的美式期权定价问题也都有相应的研究。总结一下也就是说国内的研究方向主要是集中在数值方法上，对近似解析方法的研究则是还比较少。1.3本文研究内容及研究结构本文基于蒙特卡洛算法，将欧式期权定价随机化，文章共分为五个章节。第一章引言。主要介绍了期权的发展趋势，说明采用蒙特卡洛方法的优势及意义，同时讲解了文章的研究背景及研究意义，论述国内外研究现状，最后明确1天津科技大学2014届本科生毕业论文了本文的研究内容以及相应结构安排。第二章主要介绍与本文相关的理论知识基础。例如，蒙特卡洛算法、期权、欧式期权、期权定价的相关概念，同时，介绍了一系列的生成随机数组的方法以及针对于欧式期权适用的Black-Scholes模型，为后面的章节提供充分的理论基础。第三章主要就是建立欧式期权定价模型。利用蒙特卡洛算法生成欧式期权定价公式，进而得到基于蒙特卡洛算法下的欧式期权价格。蒙特卡洛算法的基本思路是根据资产价格呈对数正态分布的假设，模拟出资产在期权持有期内的价格走势，得出资产在期权到期日的不同价格分布。由此根据期权在资产不同价格下的价值得到期权在到期日的价值分布，再取期权在到期日价值的均值作为期权的价格。第四章为蒙特卡洛算法改进方法，主要是阐述了改进后的拟蒙特卡洛模拟算法，结合了Halton偏低差序列后，使得期权价格更接近欧式看涨期权价格的真实值。第五章为本文结论章节。主要是对本文的结论进行总结。2天津科技大学2014届本科生毕业论文2基础知识2.1蒙特卡洛算法2.1.1蒙特卡洛算法简介蒙特卡洛算法是金融学中极为重要的一类数值方法。它又可以称之为计算机模拟方法，它的诞生是基于概率数理统计理论的，以中心极限定理和大数定律为主要理论基础，同时蒙特卡洛又是在欧洲摩纳哥的一个世界级赌城，故因此而得名。中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并应用正态分布的良好性质解决实际问题。设x1，x2，xn为独立分布的随机变量序列，若ExK=m，DxK=s2，K=1,2,n，则有xK-nmN(0,1)，其等价形式为limPxK-mx=t2-2dt，nK=1nsdn1nnK=1sn12pxexp-K=1,2,n则有PlimxK=m=1，显然，若x1，x2，xn是由同一总体-x+。大数定律是概率论中用以说明大量随机现象的平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛算法中用到的是随机变量序列同分布的柯尔莫戈洛夫强大数定律。设x1，x2，xn为独立分布的随机变量序列，若ExK=mNumber=9000000;X=rand(Number,1);Y=rand(Number,1);Num=zeros(length(X),1);fori=1:length(X)if(X(i)-0.5)2+(Y(i)-0.5)2mean(Num)ans=3.14152.1.2蒙特卡洛算法的基本原理蒙特卡洛算法大致可表述为：（1）建立一个与求解问题相关的概率模型，使得所需求得的解的值或者它的函数能够表示为所建模型的数学期望。（2）对该模型进行大量的抽样数据模拟，用抽样生成的随机变量的算术平均值作为所求得的解的近似估计值。因此，可以简单地认为，蒙特卡洛算法是用随机试验的方法计算积分的，即为将所要计算的积分看作服从某种特殊分布密度函数F(X)的随机变量f(x)的数学期望。以下举一个简单的例子来讲述下蒙特卡洛算法的基本原理，例如：A=f(x)dx10（2.1）这个式子的含义为计算函数f(x)在0，1区间上的积分值A，通过（2.1）式，我们不难发现该算术式等价于计算数学期望A=E(f(x)（2.2）其中，变量X是服从0，1区间上的均匀分布，即为XU0,1。将该式子解释4天津科技大学2014届本科生毕业论文的更为通俗一些就是说，我们通过某个试验，得到N个观察值，分别为X1，X2，.，XN，这在概率统计学中表示为从分布密度函数f(x)中，抽取N个样本X1，X2，.，XN，然后计算出N个随机变量的值f(X1)，f(X2)，.，f(XN)，再将上述这些函数值累加起来，并最终计算出他们的算术平均值作为A的蒙特卡洛估计f(Xi)AN=1NNi=1（2.3）所以说，由以上描述不难看出，蒙特卡洛算法的关键所在就是随机抽样。假设N取到无限大，根据大数定律，AN将会几乎取代A的值，最终作为A的近似值存在。为了更好的阐述蒙特卡洛算法，我们可以将上述问题表示为以下形式A=E(f(X)=f(x)dF(x)（2.4）其中，A是所要求的值，X是一个随机变量，f(x)是一个依赖于随机变量X的统计量，F(x)是X的分布函数。得到的统计估计量AN和所要求的A精确值的近似度与所选取的样本点的个数N有关，对于任意的e0，满足AN-AeNlimP()=1（2.5）可以看出，当N+时，AN收敛于A。事实上，在使用蒙特卡洛算法模拟时，需要产生各种概率分布的随机变量，其中最基本和最重要的随机变量便是在区间0,1上的产生的均匀分布的随机变量。蒙特卡洛生成的随机数简而言之就是服从此种均匀分布的随机变量。其他各类分布的随机变量都是借助于随机数来实现的，由此可见，随机数是抽样计算的基本工具。近年来，科技进步，随着高速电子计算机的问世，使得运用蒙特卡洛算法模拟大量数据进行试验成为可能。在计算工具方面，例如表格工具Excel中的Random指令，数学工具Matlab中的Randn函数等等。从严格意义上来讲，这种随机数的产生并不是随机的，而是根据确定的递推公式获得的，所以被称之为伪随机数，然而虽然它不是真正意义上的随机数，但也并不会影响到估算结果。5hKhn=1n天津科技大学2014届本科生毕业论文2.1.3蒙特卡洛算法的效率我们现在假设所求量q是随机变量h的数学期望Eh，那么近似确定q的蒙特卡洛算法是对h进行n次重复抽样，产生独立且同分布的随机变量序列h1，h2，hn，并计算出样本均值（2.6）nK=1n由（2.6）式的结论根据强大数定理理论，我们可以得出p(limhn=q)=1，因此，当n大到无穷时，可用hn作为所需要求得的估算量q的估计值。得出估计值后，通过中心极限定理，我们就可以得到估计的误差量了。设随机变量h的方差Dh=s2，对于标准的正态分布的上d/2分位数Zd/2，有phn-qZd/2s-Zd/2dt=1-dexp-n12pZd/2t22（2.7）这表明，置信水平1-d所对应的渐进置信区间可以表示为hnZd/2sn。实际上，由此不仅确定了置信区间，还可以确定蒙特卡洛算法上的概率化误差边界，其误差为Zd/2sn，误差收敛速度是O(n-1/2)。由以上数据及公式，我们不难看出，蒙特卡洛算法的误差是由s和n同时决定的。在对同一个h进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定s，将n增大100倍；要么固定n将s减小10倍。若两个随机变量h1，h2的数学期望Eh1=Eh2=q，s1s2，那么无论从h1或h2中抽样均可得到q的蒙特卡洛估计值。为比较其误差，我们可以假设获得hi的一个抽样所需的机时为t1，那么在时间T内生成的抽样数ni=T/ti，若使s1n1s2n2，则需使s1t1K实值虚值S=K两平两平SK虚值实值天津科技大学2014届本科生毕业论文对于期权立即执行后，致使期权价值获利为零，此时持有者处于一种不赔不赚的状态，故将其称为两平期权。虚值期权，与实值期权和两平期权一样，同样是期权的持有者在立即执行，其期权执行结果是致使期权价值获利小于零，此时持有者处于一种赔了的状态，不存在期权价值了，故将其称为虚值期权。总结一下，本文以卖权举例：首先，由于标的物的市场价格低于其执行价格，卖方买进标的物时的价格就会偏低，因而再卖出时价格就是上升，从而获利，正是这种原因导致了实值卖权的出现。其次，由于买进标的物的市场价等于卖出时的执行价格，卖方从中未盈利，这便是两平期权。最后，由于买进标的物时候的市场价格大于卖出时候的执行价格，若卖方履约，则买方处于一种被动状态，不得不履行约定，致使亏损，这种情况便是虚值期权。值得一提的是，如果真的遇到了虚值期权现象，买方多数会选择放弃履行约定权利，这样做的话损失的部分并不会很多，仅仅限制于期权费用而已。针对于这三种情况，我们都必须提高警惕，期权市场谁都说不好，也许今天还是实值期权，明天可能就变成了虚值期权了。为了更方便于大家的参阅，本文将实值期权、两平期权以及虚值期权与买、卖权制成了表格2-2，其中S代表标的物的市场价，K则代表期权最终执行价格。表2-2实值期权、两平期权以及虚值期权与买、卖权的关系期权价值，实则还有一种时间价值，但鉴于本文研究的是欧式期权，时间价值则是与美式期权紧密相关的，故在此就不多做介绍了。2.2.4期权价格的影响因素假设S是股票的初始价格，K是履行合约的执行价格，T为期权合约到期的时间，t表示目前的时间，ST表示为在T时刻的时候，股票的市场价格，r表示为从T时刻到期权到期执行日的无风险利率，利息的话就按照连续的复利方式计算，C表示购买的一种股票的欧式看涨期权价值，P表示卖出的一种股票的欧式看跌期权价值，s表示股票价格产生变化的波动率。1、标的资产价格S。对于欧式看涨期权而言，由于其到期执行价格是固定的，所以说如果期权标的资产市场价格上升的话，那么欧式看涨期权的价格也会9影响因素看涨期权看跌期权标的资产的价格上升下降标的资产的价格波动率上升下降到期执行价格上升下降距到期日的剩余时间上升下降无风险利率上升下降天津科技大学2014届本科生毕业论文跟随着增加。2、期权的执行价格K。在到期行使期权的时侯，在绝大多数期权交易中，标的资产的价格会很接近于持有者手中持有的期权的执行价格。执行价格在期权合约里往往都有相当明确的规定，是期权交易所依照特殊的标准以增减的形式给出，这就导致了同一个标的资产确有很多个不同的价格。一般的，在一种期权交易的开始，交易市场都会按照特定的价格间距，给出几组不同的价格，根据标的资产价格的变动情况适时加价，至于对于每种期权到底有多少种价格，这就取决该项期标的资产交易中的波动情况了。不过，对于投资者而言，在选择执行价格时只要遵循一个原则就好了，就是选择最接近标的资产活跃区间价格的期权执行价格。3、标的资产价格的波动率s。标的资产的波动率增加意味着期权的价格也会随之增加，同时波动率的增加也意味着期权持有者也就是买方获利会更多。4、距期权执行日的剩余时间。单就剩余时间这一条而言，剩余的时间越多，期权执行时的价格就越高。原因就是时间越充裕，标的资产就越会有充裕的时间，有更多的机会向着对期权买家有利的方向变动，最后，随着时间一点点减少，期权执行价格发生变动的概率也就相应减少了。相反的，剩余时间越少，离到期日越近，期权价格变动越快。5、无风险利率。无风险利率指的就是投放资金于一项不含任何风险的活动，而取得的利息率。这是人人都想得到的一种最理想的投资理念。无风险利率是与期权时间价值成反比的。当其他期权影响因素固定不变时，若无风险利率增长，则标的资产价格的预期增长率有可能会上升，这就致使期权买方在未来的某一时刻收到的现金流现值很有可能会下降，这样只会使得看跌期权价值相对下降，故而，我们得出结论，无风险利率与看跌期权价值成反比，然而，就看涨期权，我们认为无风险利率是与看涨期权成正比的。为了便于读者更好的理解，本文把上述几种期权影响因素制作成表2-3，如下：表2-3各类因素对期权价格的影响从以上分析不难看出，期权最初的标的资产价格和期权到期的执行价格这两10天津科技大学2014届本科生毕业论文个因素对于决定期权价格是尤为重要的，它们主要决定了某种期权究竟是何种类型的，实值、两平或者是虚值。并且随着到期时间的缩短，期权价值也会跟随降低。利率的变化对于期权价值相对复杂些，不过简单来说就是利率上升，不但会使得期权持有者成本增加，同时也增长了市场方面对资产的价格上的预测，继而直接导致看涨期权价格上调，看跌期权的价格跌落。2.2.5期权的交易原理首先，买方看准市场，买入已事先约定好标的物价格的看涨期权，然后支付少量的权利金，至此便享有了买入期货的权利。享有该项权利后，一旦价格上调，就要履行上涨期权，购买时是低价购进，卖出时期权价格上涨，就以高价卖出，从中获取差额利润，这样不仅弥补了期初支付的权利金，而且还有盈余。相对的，如果期权价格没有上涨而是下跌了，期权持有者就可以选择放弃期权或者以低价转让看涨期权，这样做的话最大不过是损失了权利金而已。买家之所以会买入看涨期权，主要是因为买家在购买前，分析了有关期货市场上价格的变动，通过分析，买家会认为期货市场上该股上涨空间更大一些，所以，买家选择了持有看涨期权，之后买家支付了一定金额的权利金，一旦市场上的价格如意料中大幅上涨，持有者便低收高卖从中获利。如果买方对市场价格分析不准确，有两种可能，一种是价格也上涨了，不过幅度很小，这样也是可以取得一点利润的，至少弥补了权利金的损失，另一种可能就是，市场上的价格下跌了，卖方选择不履行约定，那么期权持有者的损失就是必然的了，不过持有者的最大损失也就是期初支付的权利金的金额。2.3期权的定价模型2.3.1欧式期权定价模型介绍欧式期权在文章2.2.2节中已经介绍过了，欧式期权指的是在期权合约规定的到期日才可以行使该权利，期权的持有者在合约到期日之前不能行使该项权利，期权的价格是期权合约中唯一一个随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。所以，期权定价一直以来都是金融数学应用领域上最为复杂的问题之一。世界上第一个完整的、直至现在都在应用中的期权定价模型就是问世于1973年的，由FisherBlack和MyronScholes创立下的Black-Scholes期权定价模型，以下简称B-S模型。当然，随着学术上的不断推广，接下来又相继产生了多种期权定价方法，如最小二项式定价方法、风险中性定价方法以及鞅定价方法等等，但在这些方法中，B-S期权定价模型是期权定价问题的核心和基础。2.3.2B-S期权定价模型的建立B-S期权定价模型是金融界期权定价的核心、基础理论，现建立B-S模型，需具备的假设条件如下：11天津科技大学2014届