2019_2020学年高中数学第一章解三角形检测试题新人教A版必修5.docx

第一章解三角形检测试题(时间:120分钟满分:150分) 选题明细表知识点、方法题号正、余弦定理的简单应用1,2,4,5解三角形6,13,14,17判断三角形的形状3,7三角形面积的计算8,9,15正、余弦定理在实际中的应用12,22综合问题10,11,16,18,19,20,21一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在ABC中,已知a=11,b=20,A=130,则此三角形(A)(A)无解 (B)只有一解(C)有两解(D)解的个数不定解析:根据大角对大边,因为ba,所以BA,因为A=130,所以本题无解.故选A.2.在ABC中,若B=120,则a2+ac+c2-b2的值(C)(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定解析:因为B=120,所以cos B=-=,所以a2+c2-b2+ac=0.3.若三角形的三条边分别为4,5,7,则这个三角形是(C)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)钝角或锐角三角形解析:设三角形的最大角为,因为72=42+52-245cos ,所以cos =-0,所以为钝角,故选C.4.在ABC中,ABC=411,则abc等于(A)(A)11(B)211(C)12(D)311解析:由ABC=411,得A=120,B=30,C=30,所以abc=sin Asin Bsin C=11.故选A.5.在ABC中,b=,c=3,B=30,则a的值为(C)(A)(B)2(C)或2(D)2解析:因为b=,c=3,B=30,又因为b2=a2+c2-2accos B,所以3=a2+9-2a3,所以a=2或.故选C.6.ABC的三内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c.若a=b,A=2B,则cos B等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由正弦定理得=,因为a=b可化为=.又A=2B,所以=,所以cos B=.故选B.7.在ABC中,已知b=asin C,c=acos B,则ABC一定是(D)(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:b=asin C,c=acos B,b2=a2+c2-2accos B.a2sin2C=a2+a2cos2B-2acos Bacos B=a2-a2cos2B=a2sin2B,所以C=B,所以b2+c2=a2sin2C+a2cos2B=a2sin2C+a2cos2C=a2,所以C=B=45.故选D.8.已知在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若a=2bcos A,B=,c=1,则ABC的面积等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为a=2bcos A,所以由正弦定理有sin A=2sin Bcos A,将B=代入,得tan A=.因为A是三角形内角,所以A=,所以ABC是等边三角形,所以S=12=.故选C.9.在ABC中,BC=2,B=,若ABC的面积为,则tan C为(C)(A)(B)1(C)(D)解析:由SABC=BCBAsin B=得BA=1,由余弦定理得AC2=AB2+ BC2-2ABBCcos B,所以AC=,所以ABC为直角三角形,其中A为直角,所以tan C=.故选C.10.(2019临沂高二检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为(D)(A) (B)(C)或(D)或解析:因为(a2+c2-b2)tan B=ac,所以tan B=,即cos Btan B=sin B=.因为0B,所以0A.由正弦定理得=+.因为0tan A,所以+=2,即2.答案:(2,+)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.(1)求B的大小;(2)若a=3,c=5,求b.解:(1)因为a=2bsin A,所以sin A=2sin Bsin A,所以sin B=.因为0B,所以B=30.(2)因为a=3,c=5,B=30.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=(3)2+52-235cos 30=7.所以b=.18.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A;(2)若a=3,ABC的面积为2,求b,c.解:(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C,所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1,所以3cos(B+C)=-1,所以cos(-A)=-,所以cos A=.(2)由(1)得sin A=,由面积公式bcsin A=2可得bc=6,根据余弦定理得cos A=,则b2+c2=13,两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.19.(本小题满分12分)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b), n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).(1)若mn,求证:ABC为等腰三角形;(2)若mp,边长c=2,角C=,求ABC的面积.(1)证明:因为mn,所以asin A=bsin B,即a=b,其中R是ABC外接圆半径,所以a=b.所以ABC为等腰三角形.(2)解:由题意知mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.所以a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0.所以ab=4(舍去ab=-1),所以SABC=absin C=4sin =.20.(本小题满分12分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解:(1)由已知得,PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2cos 30=.故PA=.(2)设PBA=,由已知得PB=sin .在PBA中,由正弦定理得=,化简得cos =4sin .所以tan =,即tanPBA=.21.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解:(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.又0Ab,则AB,故B=.根据余弦定理有(4)2=52+c2-25c(-),解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为|cos B=.22.(本小题满分12分)如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile,与小岛D相距为3 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角,且sin A=.(1)求小岛A与小岛D之间的距离;(2)记小岛D对小岛B与C的视角为,小岛B对小岛C与D的视角为,求sin(2+)的值.解:(1)因为sin A=,且角A为钝角,所以cos A=-=-.在ABD中,由余弦定理得AD2+AB2-2ADABcos A=BD2,所以AD2+52-2AD5(-)=(3)2,所以AD2+8AD-20=0,解得AD=2或AD=-10(舍去),所以小岛A