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量纲分析模型 1 一 单位与量纲 1 单位 数学建模的目的是解决实际问题 而实际问题中的量都有相应的单位 数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义 如在实际问题中谈某个长度量 在关注其数值的同时还必须关注其单位 否则 我们便没有把这个量完全弄清楚 但实际问题中的诸多量并非全是相互独立的 其中一些量能起到基本量的作用 其它量是这些基本量的符合某种规律的组合 如速度是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合 如果规定了基本量的单位 其它量的单位也随之确定 2 10量纲分析与无量纲化 2 定义 一组物理量 若彼此相互独立 且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合 则称这些物理量为基本物理量 2 基本物理量 导出量 由基本量通过自然规律导出的量 例如 速度 加速度 力 类似于向量空间中的基的概念 一方面基中的向量线性无关 独立 一方面向量空间中的任何向量均可由其线性表示 导出量 3 定义 一物理量与基本物理量之间的规定关系 称为该量的量纲 这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示 因此也称为量纲积 即任一物理量Q的量纲皆可表示成 Q L M T I J N 其中 L M T I J N是基本物理量的量纲 称量纲指数均为0的物理量为无量纲量 基本物理量名称量纲单位符号长度L米m质量M千克kg时间T秒s电流强度I安培A温度 开尔文K光强J坎德拉cd物质的量N摩尔mol 称为量纲指数 4 物理量的量纲 长度l的量纲记L l 质量m的量纲记M m 时间t的量纲记T t 动力学中基本量纲L M T 速度v的量纲 v LT 1 导出量纲 加速度a的量纲 a LT 2 力f的量纲 f LMT 2 引力常数k的量纲 k 对无量纲量 1 L0M0T0 f l 2 m 2 L3M 1T 2 5 4 量纲与单位的关系 1 量纲和单位都在反映物理量的特征 反映该物理量与基本物理量间的关系 2 任何物理量的量纲是唯一的 但单位可以有多个 3 有的量可以没有量纲 但它可能有单位 如角度 4 物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属性 这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础 6 量纲齐次法则用数学表达式表示一个物理定律时 等式两边的量纲必须是一致的 或者都是无量纲量 例如 牛顿第二定律F ma F MLT 2 ma MLT 2 2 10 1量纲分析建模和Pi定理 量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法 利用物理量的量纲提供的信息 根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系 7 问题的解是依据适当的物理基本量的量纲齐次方程给出的 首先找出所有与问题的解 因变物理量 有关的物理量和基本量 其次寻求一个适当的无量纲齐次方程来确定待定方程的形式 即变量是独立的无量纲积的方程 最后把因变物理量解出来 量纲分析在实际问题中的应用 假设 任务 8 量纲齐次原则 等式两端的量纲一致 例 单摆运动 求摆动周期t的表达式 设物理量t m l g之间有关系式 1 2 3为待定系数 为无量纲量 1 的量纲表达式 对比 公式中的系数是无量纲的 实际上是与摆角有关的 当摆角不大于15度时 近似等于2派 9 对x y z的两组量测值x1 y1 z1和x2 y2 z2 p1 f x1 y1 z1 p2 f x2 y2 z2 为什么假设这种形式 设p f x y z x y z的量纲单位缩小a b c倍 量纲齐次原则 单摆运动 10 单摆运动规律和物理量t m l g有关 这个规律可以表示为左边的一般表达式 齐次线性方程组的基础解系只含一个向量 说明以t m l g构成的完备无量纲幂积组只有一个无量纲幂积 11 设f q1 q2 qm 0 ys ys1 ys2 ysm T s 1 2 m r F 1 2 m r 0与f q1 q2 qm 0等价 F未定 Pi定理 Buckingham 是与量纲单位无关的物理定律 X1 X2 Xn是基本量纲 n m q1 q2 qm是与寻求问题有关的物理量 量纲矩阵记作 线性齐次方程组 有m r个基本解 记作 构成一个完备无量纲组 由单摆运动求周期的方法我们知道方程f q1 q2 qm 0与一个无量纲方程等价 并且此方程的变量是所有由q1 q2 qm构成的独立的无量纲积 称为完备无量纲组 q1 q2 qm量纲可表示为 由q1 q2 qm构成的无量纲积与此线性齐次方程组的解之间存在一一对应关系 所以求适当的一个完备无量纲积组的问题转化为求线性方程组的一个适当的基础解系 思考 Pi定理的实际意义是什么 方程变量的个数由m个减少到了m r个 12 g LT 2 l L L 3M v LT 1 s L2 f LMT 2 量纲分析示例 波浪对航船的阻力 航船阻力f 航船速度v 船体尺寸l 浸没面积s 海水密度 重力加速度g m 6 n 3 13 Ay 0有m r 3个基本解 rankA 3 rankA r Ay 0有m r个基本解 ys ys1 ys2 ysm Ts 1 2 m r 量纲分析示例 波浪对航船的阻力 14 F 1 2 3 0与 g l v s f 0等价 为得到阻力f的显式表达式 F 0 未定 F 1 2 m r 0与f q1 q2 qm 0等价 量纲分析示例 波浪对航船的阻力 此适当指的是 要保证所求的物理量f只出现在一个无量纲积中 只有这样我们才能得到f的显示表达式 即求出f 适当的基础解系对应着适当的一组完备无量纲积组 此适当指的是什么 15 量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 0中包括哪些物理量是至关重要的 基本量纲个数n 选哪些基本量纲 有目的地构造Ay 0的基本解 方法的普适性 函数F和无量纲量未定 不需要特定的专业知识 16 2 10 2量纲分析在物理模拟中的应用 例 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数 均已知可控的 可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 原型船的参数 f1未知 其它已知 注意 二者的 相同 假如我们诸如海浪拍打巨轮的效应 以及潜艇的热损耗和在水下环境中受到的阻力 或作用在飞机机翼上的风力绕有兴趣 通常 在实验室里重复实际的现象是不可能的 我们需要在模拟的环境中研究经过缩减的模型来精确预测物理系统的性能 问题是我们怎样在实验室中调节实验比例 从而确保对模型观测到的效应与实际的效应相互一致 17 只要按一定尺寸比例造模型船 控制速度v 使用同一种流体 这样就可通过量测f 知道f1的大小 物理模拟 如果 18 2 10 2量纲分析在物理模拟中的应用 例 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数 均已知 可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 原型船的参数 f1未知 其他已知 注意 二者的 相同 19 按一定尺寸比例造模型船 量测f 可算出f1 物理模拟 20 2 10 3无量纲化 例 火箭发射 星球表面竖直发射火箭 初速v 星球半径r 星球表面重力加速度g 研究火箭高度x随时间t的变化规律 t 0时x 0 火箭质量m1 星球质量m2 牛顿第二定律 万有引力定律 3个独立参数 21 用无量纲化方法减少独立参数个数 用参数r v g的组合 分别构造与x t具有相同量纲的xc tc 特征尺度 无量纲变量 如 令 22 xc tc的不同构造 1 令 为无量纲量 用无量纲化方法减少独立参数个数 23 3 令 2 令 用无量纲化方法减少独立参数个数 24 1 2 3 的共同点 1 2 3 的重要差别 考察无量纲量 在1 2 3 中能否忽略以 为因子的项 1 无解 无量纲化方法 25 2 3 1 2 3 的重要差别 无量纲化方法 26 原问题 是原问题的近似解 1 2 3 的重要差别 无量纲化方法 27 为什么3 能忽略 项 得到原问题近似解 而1 2 不能 3 令 火箭到达最高点时间为v g 高度为v2 2g 大体上具有单位尺度 无量纲化方法 28 选择特征尺度的一般讨论见 林家翘著 自然科学中确定性问题的应用数学 无量纲化 无量纲化是研究物理问题常用的数学方法 选择特征尺度主要依赖于物理知识和经验 恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数 还可以辅助确定舍弃哪些次要因素 29 思考题 第57页第15 16 18 保持量纲协调 30 例1 描述单摆运动的周期问题 质量为m的小球系在长度为l的线的一端 铅垂悬挂 小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下做往复的周期运动 分析小球摆动周期的规律 假设 1 忽略空气阻力 2 忽略可能的磨擦力 3 平面运动 忽略地球自转 4 忽略摆线的质量和变形 一 量纲分析法实例 31 分析建模10 列出有关的物理量运动周期t 摆线长l 摆球质量m 重力加速度g 振幅 20 写出量纲 t T l L m M g LT 2 1 30 写出规律F t l m g 0 40 写出规律中加项 的形式 t 1l 2m 3g 4 5 32 50 计算 的量纲 T 1L 2M 3 LT 2 4 T 1 2 4L 2 4M 360 应用量纲齐次原理由 1 可得关于 i i 1 5 的方程组 1 2 4 0 2 4 0 3 0 5任意 33 70 解方程组解空间的维数是二维 对自由变量 4 5 选取基底 1 0 和 0 1 关于 1 2 3求解方程组可得基础解系 34 80 求 将方程的解代入加项 的表达式 可得 1 t2l 1g t2g l 2 90 建模单摆运动的规律应为f 1 2 0 解出 1可得 1 k1 2 即t2g l k1 35 100 检验 周期与质量mm 390gm 237gl 276cm3 327s3 350sl 226cm3 058s3 044s 周期与振幅 l 276cm m 390g 0 8 3413 1818 1723 3128 7133 9239 9946 62k 6 356 356 3546 3546 3886 3886 4716 524 150时 k 2 k 与 有关 36 1 模型与量纲模型描述的是实际问题的内蕴的特征 量纲有赖于基本量的选择 是外加的有关量的度量手段 模型所描述的规律应该独立于量纲的影响机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响因此机理模型需要无量纲化 使用无量纲量来描述客观规律 二 模型的无量纲化 37 2 模型无量纲化举例例1 单摆的运动 建模描述单摆运动的规律假设 同前 变量 参量 同前 坐标系 x y r 平衡关系 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等于它所受的外力 外力 重力mg 张力T 38 模型注意到摆球的坐标的表达式 则有第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方向运动的情况 是量纲齐次的 对它进行无量纲化 39 变量的无量纲化令称之为无量纲时间代入模型可得选择变换因子为则有 40 无量纲模型的分析1 换算因子w0 令T0为单摆的周期 则w0为角频率以2 为时间单位时摆动的频率数 2 特征时间tc 称tc 1 w0 T0 2 为特征时间 以2 为时间单位时 摆动一次所需的时间3 无量纲时间 t tc 是以特征时间为单位的时间计量 41 例2 抛射问题 从地球表面以速度v竖直向上发射火箭 讨论火箭发射的高度随时间变化的规律 假设 1 地球是球体 2 火箭升空只需克服地球的引力 3 火箭在地球的表面附近在引力作用下将具有自由下落的加速度g 平衡关系 牛顿定律 万有引力定律火箭升空后由于地球吸引力的作而减速运动用 42 变量 参量时间 t 火箭的高度 y t 地球半径 r 初速度 v 重力加速度 g 火箭质量 m1 地球质量 m2 模型m1y km1m2 y r 2 由假设3 y 0时 y g 故有g km2 r2 y r2g y r 2 y 0 0 y 0 v 43 模型的无量纲化将模型中的变量变换为无量纲变量令tc yc分别为具有时间量纲和长度量纲的量 则t t tc y y yc就成为无量纲的时间和长度 注意到模型就可以化为 44 令tc2g yc 1 vtc yc 1 则有tc v g yc v2 g分别称tc和yc为特征时间和特征尺度模型可以化简为y Ay 1 2 y 0 0 y 0 1 其中A v2 rg这时模型是简单的 而且其中所有的量都是无量纲的 45 无量纲化模型的分析1 模型的化简地球的半径r 6370千米 rg 62426000米2