浅谈函数的极值与最值.doc

浅谈函数的极值与最值玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业 刘有燕 2005011115指导教师：张玮摘要：函数的极值与最值广泛应用于生产生活实际中,本文讨论了一元函数、二元函数的极值与最值,其结果可以推广到元函数,在此基础上阐述了函数的极值与最值的区别与联系关键词：一元函数；二元函数；元函数；极值；最值；矩阵前言：函数的极值与最值广泛应用于生产生活实际中,生产实践和科学实验中所遇到的“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题都可以归结为数学的极值、最值问题,因此,讨论函数的极值、最值问题具有现实意义.本文着重讨论一元函数、二元函数的极值与最值的求解方法,并把方法推广到元函数.在许多实际问题中,极值与最值结果往往相同,实际上它们之间是有区别的,因此,弄清楚函数的极值与最值的区别和联系是非常重要的下面具体讨论一元函数、二元函数的极值与最值一、一元函数的极值与最值一元函数的极值一元函数极值的定义设函数在区间有定义,若,且存在的某邻域,有,则称是函数的极大点（极小点）,是函数的极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值1费马定理：设函数在区间有定义,若函数在可导,且是函数的极值点,则稳定点：若函数可导,则方程的根称为函数的稳定点可导函数的极值点必在函数的稳定点的集合中,而稳定点却不一定是极值点.例如：函数是稳定点也是极值点.函数,是稳定点,但不是极值点.从稳定点中找出极值点，有两个充分性的判别法：第一判别法：若函数在可导,且, ,有则是函数的极大点（极小点）,是极大值（极小值）在稳定点的两侧,的符号左正右负,函数取得极大值；的符号左负右正, 函数取得极小值第二判别法：若函数在存在阶导数,且,是奇数,则不是函数的极值点；是偶数,则是函数的极值点；当时,是函数的极小点,是极小值；当时,是函数的极大点,是极大值设函数有稳定点,且在点的邻域存在二阶导数,由第二判别法可知分三种情况：,点的矩阵.当时,函数在点的矩阵是正定矩阵,是函数的极小点,是极小值.当时,函数在点的矩阵是负定矩阵,是函数的极大点,是极大值.当时,函数在点的矩阵是半正定矩阵,不能判断点是否是函数的极值点.注释：正定矩阵：正定的实对称矩阵简称为正定矩阵.实对称矩阵是正定的充要条件是的所有顺序主子式全大于零.级实对称矩阵是正定的当且仅当的特征值全大于零.级实对称矩阵是负定的充要条件是它的偶数阶顺序主子式全大于零,奇数阶顺序主子式全小于零.对函数而言,稳定点可能是极值点,不可导点也可能是极值点,那么如何判定不可导点是否是极值点？2设不可导点把函数的定义域分成两个区间：如果函数在连续,那么：时,；时,是的极大点,是的极大值时,；时,是的极小点,是的极小值及时,都有（或）不是的极值点如果函数在不连续,那么可能是极值点也可能不是极值点,需要具体情况具体分析.函数的极值随极值点的确定而确定一元函数的最值一元函数最值的定义设函数在区间有定义,对,恒有,则称是函数的最大点（最小点）,是函数的最大值（最小值）,最大点与最小点统称为最值点,最大值与最小值统称为最值闭区间可导函数的最值求法若函数在闭区间连续,在开区间可导,且是函数在开区间内的所有稳定点,则函数值个：中最小者就是函数的最小值,最大者就是函数的最大值所以,求可导函数的最值就归结为求可导函数在稳定点及区间端点函数值中的最值注释：若存在不可导点,则还需考察这些点无限区间上连续函数的最值求法函数在区间有定义,如果区间是无限区间且在连续,则可能无最值可以根据函数在相应开区间的极值,以及当趋于的端点（或）时,的变化趋势来确定函数是否有最值 生产实践和科学实验中遇到的“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题都可以归结为数学的最值问题在求最值的某些应用问题时,根据问题的实际意义,能够判定它必能取到最大值（最小值）,而从实际问题抽象出来的可导函数在区间只有一个稳定点,这时就可断定,函数在此稳定点必取到最大值（最小值）二、二元函数的极值与最值二元函数的极值二元函数极值的定义设函数在点的邻域有定义,若,有,则称是函数的极大点（极小点）,称为函数的极大值（极小值）3关于二元函数的极值问题，一般可利用偏导数来解决二元函数极值存在的必要条件定理设函数在点存在两个偏导数,且是函数的极值点,则稳定点：满足方程组 的点称为函数的稳定点（偏导数为零的点） 可微函数的极值点一定是稳定点,反过来,稳定点不一定是极值点,下面给出极值点的判定定理：二元函数极值存在的充分条件定理设函数有稳定点,且在点的邻域存在二阶连续偏导数,令若,则是函数的极值点：如果,那么是函数的极小点,是极小值如果,那么是函数的极大点,是极大值若,不是函数的极值点若,可能是函数的极值点,也可能不是函数的极值点定理设函数有稳定点,且在点的邻域存在二阶连续偏导数；若函数在点的矩阵是正定矩阵,则是函数的极小点,是极小值若函数在点的矩阵是负定矩阵,则是函数的极大点,是极大值若函数在点的矩阵是不定矩阵（特征值有正有负）,则不是函数的极值点若函数在点的矩阵是半正定或半负定矩阵,则不能判定是否是函数的极值点4注释：函数在任意点的矩阵证明：是函数的稳定点,所以 由泰勒公式,有：其中,分别为的最小和最大特征值,如果正定,则,所以即是函数的极小点,是极小值证明：如果负定,则,所以即是函数的极大点,是极大值根据上述两个定理,可以解决一些二元函数的极值问题例求函数的极值5解：解方程组 得到稳定点为及上的点求二阶偏导数：,是极值点又,是极小值点,极小值是令,则.,当时,所以为稳定点又, ,所以是极大点,极大值是例求函数的极值解：解方程组 得到两个稳定点和,求二阶偏导数,矩阵,为单位矩阵的特征值是是不定矩阵,不是函数的极值点一阶顺序主子式,二阶顺序主子式,正定,是极小点,极小值是如果二元函数有稳定点,且在点的邻域存在二阶连续偏导数,那么求二元函数的极值可以用定理和定理（判定二元函数极值存在的充分条件）,定理中第种情况和定理中第种情况出现时需进一步考察是否取得极值,定理在条件不变的情况下,其结论可以推广到元函数讨论函数的极值问题时,如果函数在所讨论的区域内有一阶偏导数,则由定理可知,极值只可能在稳定点处取得.然而,如果函数在个别点处的一阶偏导数不存在,这些点当然不是稳定点,但也可能是极值点,例如：函数在点处一阶偏导数不存在,但该函数在点处却有极大值对函数有定义但一阶偏导数不存在的点,用极值的定义判断该点是否是极值点,如果是极值点,把它代入函数,就可以求出相应的极值二元函数的最值二元函数最值的定义设二元函数在定义域上有定义,对,恒有,则称是函数的最大点（最小点）, 称为函数的最大值（最小值）在定义域上求函数最值的方法判断在定义域上存在最大值、最小值若为闭区域,在上连续,则在上必取得最大值和最小值若为开区域,将在内的极值与函数趋于“边界”的极限放在一起比较,确定在上是否存在最大值和最小值求出所有稳定点及偏导数不存在的点计算在上述点的函数值计算在边界上的最大值、最小值比较上述函数值的大小,其中最大者为最大值,最小者为最小值在很多实际问题中,根据实际意义,函数的最大（小）值必在区域（可以是开区域、闭区域、无界区域）内某点取得,又函数在内只有一个稳定点,没有偏导数不存在的点,那么函数必在这个稳定点取得最大（小）值下面具体给出最值的应用：例要制造一个无盖的长方体水槽,已知它的底面造价为每平方米元,侧面造价为每平方米6元,设计的总造价为216元,问如何选取它的尺寸,才能使水槽容积最大？6解：设水槽的长、宽、高分别为,则容积为由题设知 即所以这个问题就是求函数在区域内的最大值解方程组得到区域内的唯一稳定点于是由问题的实际意义可知,函数在时确实有最大值,且函数只有一个稳定点,所以该稳定点就是最大点,就是函数的最大点所以当长为,宽为,高为时,水槽容积最大三、元函数的极值与最值元函数的极值元函数极值的定义设元函数定义在开集上,如果,使恒有：,则称点为的极小点,则称点为的极大点与极大（小）点对应的值是极大（小）值判定元函数极值的必要条件定理设元函数在内有定义,在点存在个偏导数,且是极值点,则判定元函数极值的充分条件定理设元函数有稳定点,且在点的邻域内存在二阶连续偏导数；若元函数在点的矩阵是正定矩阵,则是的极小点, 是极小值若元函数在点的矩阵是负定矩阵,则是的极大点, 是极大值若元函数在点的矩阵是不定矩阵,则不是函数的极值点若元函数在点的矩阵是半正定或半负定矩阵,则不能判定是否是的极值点注释：，.证明：是的稳定点,所以,于是.由泰勒公式：如果分别是的最小和最大特征值,二次型满足：如果正定,则,即,所以是的极小点,是极小值.如果负定,则,即,所以是的极大点,是极大值.任意元函数都可以根据矩阵的正定、负定、不定来判定其极值.下面用该定理来解决多元函数的极值问题.例求的极值解：解方程组得到两个稳定点，二阶偏导数为：在任意点的矩阵为于是,的各阶顺序主子式分别为：,它们均大于零,所以是正定矩阵, 是极小点,极小值的特征根为,是不定矩阵,不是极值点元函数的最值设元函数定义在开集上,如果恒有,则称点为在上的最小点,则称点为在上的最大点与最大（小）点对应的值是最大（小）值.元函数是二元函数的推广,其极值与最值无论定义还是算法都与二元函数相似.五、函数的极值与最值的区别和联系 极值与最值都是刻画函数度量性质的概念,它们之间有区别,也有联系,下面从多元函数的角度出发论述它们之间的区别和联系函数的极值与最值的区别极值点必须是函数定义域的内点,而最值点可以是定义域上的任意点；当定义域为闭区域时,极值点不能是闭区域的边界点,而最值点可以是闭区域的边界点极值反映的是函数在定义域内部某个邻域内的局部性质,而最值反映的是函数在整个定义域上的整体性质函数在定义域内可能有很多极大值和极小值,但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）；极大值可以小于极小值,但最大值必定不小于最小值函数的极值与最值的联系如果函数在定义域上只有唯一的极值,则此极值必定是最值如果函数的最值不在定义域的边界取得,并且函数在其定义域上的任何微小邻域内都不为定值,则最值必定是极值 函数可以有极值而无最值,可以有最值而无极值在许多实际问题中,极值与最值结果往往相同,实际上它们是有区别的结束语：函数的极值与最值都是刻画函数度量性质的概念,在讨论函数的极值与最值时,必须树立“定义域优先”的数学意识对于一元函数的极值问题, 往往利用导数解决，当然,必须注意考察不可导点；二元函数的极值问题,一般用偏导数来解决,也可以用矩阵（由二阶偏导数构成）的正定、负定、不定来判定函数的极值点,进而求出极值；三元及三元以上的多元函数的极值用矩阵判定比较简便,解决问题的关键是稳定点及二阶偏导数我们一般通过考察极值点、边界点、不可导点处的函数值来求最值,对于在有界闭区域上连续的函数,可先求出稳定点处的函数值,再求出边界上的最值,比较这些值就可以得到函数的最值；对于开区域上的函数最值除了比较极值,还需考虑在定义域内趋于边界时函数值的变化趋势“求导法”是求函数的极值与最值的先进“武器”,有了这个先进“武器”,广泛应用于实际生活中的极值与最值问题也就迎刃而解了致谢：衷心感谢张玮老师在论文写作过程中的指导与帮助！参考文献：1 刘玉琏.数学分析讲义（上册）.北京：高等教育出版社,2003年7月第4版2 李克典，马云苓.数学分析选讲.厦门：厦门大学出版社,2006年6月第1版3 刘玉琏.数学分析讲义（下册）.北京：高等教育出版社,2003年6月第4版4 萧树铁.多元微积分及其应用.北京：高等教育出版社,2000年5月第4版5 孙清华，孙昊.数学分析内容、方法与技巧（下）.武汉：华中科技大学出版社,2003年11月第1版6 沈京一，张晓晞.高等数学.北京：科学出版社,2007年3月第1版A Simple Discussion on Extremum、Maximal and Minimum of FunctionYuxi Normal University Major in mathematics and applied mathematics Name: Liu Youyan Number: 2005011115Instructor: ZhangweiAbstract: Extremum、maximal and minimum of function are widely used in every aspect of our life. This article discusses the extremum, maximal and minimum of univariate function and function of two variable. The result can ex