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文档简介

2 二次曲线的渐近方向、中心和渐近线一 渐近方向： 定义：若一方向X：Y（即与矢量X，Y平行的方向）满足（X，Y）=0，则称其为二次曲线F（x,y）=0的一渐近方向。 存在性： 命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地 （i）当=0时，曲线有二共轭复渐近方向； （ii）当0 它有二共轭复渐近方向；对双曲线，=-0， 它有二不同实渐近方向；对抛物线y=2px，=0 它有二相同的实渐近方向；由此，称仅有复渐近方向的二次曲线为椭圆型曲线；有二不同实渐近方向的二次曲线为双曲线型曲线；有二相同实渐近方向的二次曲线为抛物型曲线。二 中心： 1、定义：二次曲线上任意两点间的连接线段，若不沿渐近方向，则称其为弦。若存在一点C，使得过C的任一弦均被C平分，则称C为二次曲线的中心。 显然：二次曲线的中心正是它的对成中心。 2、求法： 定理1：点C（，）是二次曲线F（x,y）=0之中心，是方程组 （*） 的解 证：“”设C（，）是中心，而是过C的任一弦，该弦所在直线 l： ， （X，Y）0 令（+X ，+Y），i=1，2，则，是方程 （X，Y）t+2（，）X+（，）Yt+F（，）=0的根 而 = =+ +=0 （，）X+（，）Y=0，由弦的任意性 （，）=（，）=0 “”若C（，）的坐标满足（，）=（，）=0 过C任取曲线的弦，其方向为X：Y，从而若令（+tX，+tY），i=1，2，则，应是（*）二个根。 （，）X+（，）Y=0 +=0 的中点坐标为 即C（，）是弦的中点 C为中心 注：若一条二次曲线有唯一中心，则称其为中心二次曲线；没有中心的二次曲线称为无心二次曲线；有不止一个中心的二次曲线称为线性二次曲线， 关于上述三种二次曲线的判别标准，我们有 定理2： （i）二次曲线为中心二次曲线 0 （ii）二次曲线为无心二次曲线 =0，但： （iii）二次曲线为线性二次曲线 =0且：=： 事实上，（i）二次曲线为中心二次曲线（*）有唯一解0 （ii）二次曲线为无心二次曲线（*）无解 秩秩 =0但0=0且： （vi）二次曲线为线性二次曲线（*）有不止一个解I2=0且 ：=： 注：对线性二次曲线，由于：=：=： 方程组（*）同解于（x,y）x+y+=0 即线性二次曲线的中心充满直线 x+y+=0中心直线三 渐近线： 定义：过二次曲线的中心且沿其渐近方向的直线称为渐近线。 可见：椭圆型二次曲线有二共轭复渐近线；双曲型二次曲线有二不同实渐近线；而对抛物型二次曲线，若其为无心的，则其没有渐近先，若其为线性的，则由于其渐近方向为X：Y=-：，而这正是中心直线的方向，它的渐近线即为中心直线。 求法： 法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。 法2：求出中心C（，），对渐近线上任一点M（x，y），则（x-）：（y-）为渐近方向， （x-，y-）=0 性质： 命题：二次曲线的渐近线或者与曲线不交，或者整个位于曲线上，事实上，设 l：为渐近线，其中（，）
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