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2 二次曲线的渐近方向、中心和渐近线一 渐近方向: 定义:若一方向X:Y(即与矢量X,Y平行的方向)满足(X,Y)=0,则称其为二次曲线F(x,y)=0的一渐近方向。 存在性: 命题:任一二次曲线至多有二渐近方向,具体地 (i)当=0时,曲线有二共轭复渐近方向; (ii)当0 它有二共轭复渐近方向;对双曲线,=-0, 它有二不同实渐近方向;对抛物线y=2px,=0 它有二相同的实渐近方向;由此,称仅有复渐近方向的二次曲线为椭圆型曲线;有二不同实渐近方向的二次曲线为双曲线型曲线;有二相同实渐近方向的二次曲线为抛物型曲线。二 中心: 1、定义:二次曲线上任意两点间的连接线段,若不沿渐近方向,则称其为弦。若存在一点C,使得过C的任一弦均被C平分,则称C为二次曲线的中心。 显然:二次曲线的中心正是它的对成中心。 2、求法: 定理1:点C(,)是二次曲线F(x,y)=0之中心,是方程组 (*) 的解 证:“”设C(,)是中心,而是过C的任一弦,该弦所在直线 l: , (X,Y)0 令(+X ,+Y),i=1,2,则,是方程 (X,Y)t+2(,)X+(,)Yt+F(,)=0的根 而 = =+ +=0 (,)X+(,)Y=0,由弦的任意性 (,)=(,)=0 “”若C(,)的坐标满足(,)=(,)=0 过C任取曲线的弦,其方向为X:Y,从而若令(+tX,+tY),i=1,2,则,应是(*)二个根。 (,)X+(,)Y=0 +=0 的中点坐标为 即C(,)是弦的中点 C为中心 注:若一条二次曲线有唯一中心,则称其为中心二次曲线;没有中心的二次曲线称为无心二次曲线;有不止一个中心的二次曲线称为线性二次曲线, 关于上述三种二次曲线的判别标准,我们有 定理2: (i)二次曲线为中心二次曲线 0 (ii)二次曲线为无心二次曲线 =0,但: (iii)二次曲线为线性二次曲线 =0且:=: 事实上,(i)二次曲线为中心二次曲线(*)有唯一解0 (ii)二次曲线为无心二次曲线(*)无解 秩秩 =0但0=0且: (vi)二次曲线为线性二次曲线(*)有不止一个解I2=0且 :=: 注:对线性二次曲线,由于:=:=: 方程组(*)同解于(x,y)x+y+=0 即线性二次曲线的中心充满直线 x+y+=0中心直线三 渐近线: 定义:过二次曲线的中心且沿其渐近方向的直线称为渐近线。 可见:椭圆型二次曲线有二共轭复渐近线;双曲型二次曲线有二不同实渐近线;而对抛物型二次曲线,若其为无心的,则其没有渐近先,若其为线性的,则由于其渐近方向为X:Y=-:,而这正是中心直线的方向,它的渐近线即为中心直线。 求法: 法1:求出中心,再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。 法2:求出中心C(,),对渐近线上任一点M(x,y),则(x-):(y-)为渐近方向, (x-,y-)=0 性质: 命题:二次曲线的渐近线或者与曲线不交,或者整个位于曲线上,事实上,设 l:为渐近线,其中(,)
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