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文档简介

推广 一元函数微分学 二元函数微分学 注意 善于类比 区别异同 二元函数微积分 1 一 区域 二 二元函数的概念 二元函数的基本概念 2 区域 平面上满足某个条件的一切点构成的集合 平面点集 平面区域 由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域 通常记作D 0 1 边界 闭区域 开区域 3 0 0 型区域 型区域 常见区域 由 四条曲线围成 由 四条曲线围成 4 邻域 0 1 5 二元函数的概念 6 一元函数 二元函数 定义域 自变量个数 一个 两个 在数轴上讨论 区间 在平面上讨论 区域 7 一 偏导数概念及其计算 二 高阶偏导数 偏导数 8 定义 在点 存在 的偏导数 记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 注意 9 同样可定义对y的偏导数 若函数z f x y 在域D内每一点 x y 处对x 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 偏导数 记为 或y偏导数存在 10 例如 三元函数u f x y z 在点 x y z 处对x的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 偏导数定义为 请自己写出 11 例1 求 解 在点 1 2 处的偏导数 由偏导数的定义可以看出 要求二元函数对某个自变量的偏导数 只需将另一个自变量看做常量 然后利用一元函数求导公式和求导法则即可 12 例2 设 证 例3 求 的偏导数 解 求证 13 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证 证 说明 R为常数 不能看作 分子与分母的商 此例表明 整体记号 14 练习 15 二 高阶偏导数 设z f x y 在域D内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数 则称它们是z f x y 的二阶偏导数 按求导顺序不同 有下列四个二阶偏导 数 16 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 z f x y 关于x的三阶偏导数为 z f x y 关于x的n 1阶偏导数 再关于y的一阶 偏导数为 17 解 18 例6 证明函数 满足拉普拉斯 证 利用对称性 有 方程 19 内容小结 1 偏导数的概念及有关结论 定义 记号 2 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方
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