Diracδ函数及其性质PPT课件.ppt

一 Dirac 函数 1 Dirac 函数的定义2 Dirac 函数可以用一些连续函数的序列极限来表示3 Dirac 函数的性质4 复合函数形式的Dirac 函数 h x 5 二维Dirac 函数 1 2 早在一个多世纪前 物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质点 点电荷 点光源及又窄又强的电脉冲等一类物理量 当时用于描述这种物理量的数学符号被称之为 冲击脉冲符号 1947年 英国物理学家P A M Dirac在他的著作 PrincipleofQuantumMechanics 中正式引入 x 并称它为 奇异函数 或 广义函数 x 函数之所以被称为 奇异函数 或 广义函数 原因在于 一 它不象普通函数那样存在确定的函数值 而是一种极限状态 而且它的极限也和普通函数不同 不是收敛到定值 而是收敛到无穷大 二 函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算 它对别的函数的作用只能通过积分来确定 3 1 Dirac 函数的定义 对于自变量为一维的 函数 x 来说 它满足下列条件 1 这表明 x 函数在x 0点处处为零 在x 0点出现无穷大极值 x 0点又称为奇异点 但是 尽管 0 趋近于无穷大 对它的积分却等于1 即对应着 函数的 面积 或 强度 等于1 所以 x 又叫做单位脉冲函数 很显然 等式 2 成立 4 在光学里 x 函数常常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源 由于点光源所占面积趋近于零 所以在x 0点功率密度趋近于无穷大 在 1 和 2 中变换原点 得到 3 其中a为任意常数 因此用 x a 乘x的函数 并对所有x积分的过程 等效于用a代替x的过程 定义的另外形式 5 2 x 可以用一些连续函数的序列极限来表示 1 归一化的Gauss分布函数G x 4 该函数具有如下的性质 5 当 0时 G x 就趋向于 x 即 6 6 1 3 7 证明 由 4 式可以看出 当x 0 0时 而当x 0 0时 由公式 5 得 所以由公式 6 所定义的函数满足 x 函数的条件 1 式 可见归一化的Gauss函数的序列极限可以表示 x 函数 8 7 其中 0 证明 当x 0时 当x 0时 sin x x 以周期2 振荡 振幅随着 x 的增加而减小 所以 当 时 于是有 9 当 0时 查找定积分表可得到 所以有 10 3 函数 的极限 也满足 x 函数的条 件 即 8 其中 0 证明 当x 0时 当x 0时 sin x x 以周期2 振荡 振幅随着 x 的增加而减小 所以 当 时 sin x x 0 于是有 11 查找定积分表可得到 于是有 8 12 4 阶跃函数的导数也可以表示Dirac x 函数 根据第一次课所讲的内容可知 阶跃函数step x 也称为Heaviside函数 也可以用H x 表示 其定义如下 9 函数H x a 对x的导数也满足 x 的条件 即 10 13 很容易看出 当x a时 而当x a时 利用分步法计算积分 有 根据以上讨论 再结合式 3 可知 Heaviside函数H x a 对x的导数可以表示Dirac x 函数 即式 10 成立 证明 14 3 Dirac函数的性质 性质1 积分性质 函数的定义式 即表明了 函数的积分性质 这个积分也可称之为 函数的 强度 性质2 筛选性质 式 2 表明了 函数的筛选性质 则是其推论 2 而式 3 中的 由此得出推论 15 性质3 坐标缩放性质 设a为常数 且不为零 则有 推论1 x x 说明 函数具有偶对称性 推论2 16 性质4 函数的乘法性质 如果f x 在x0点连续 则有 由此得出推论 x x 0和 17 4 复合函数形式的 函数 h x 设方程h x 0有n个实数根x1 x2 xn 则在任意实根xi附近足够小的邻域内有 h x h xi x xi 其中h xi 是h x 在x xi处的一阶导数 如果h xi 0 则在xi附近可以写出 h x h xi x xi 18 上式表明 h x 是由n个脉冲构成的脉冲系列 各个脉冲位置由方程h x 0的n个实根确定 各脉冲的强度则由系数 h xi 1来确定 若h xi 在n个实根处皆不为零 则有 h xi 0 推论 19 5 二维函数 函数 1 直角坐标系的情况二维 函数表示为 x y 它是位于xy平面坐标原点处的一个单位脉冲 二维 函数是可分离变量函数 即有 x y x y 二维 函数的性质以及其证明过程与一维 函数的情形相同 2 极坐标系的情况 x y r 必须要保证 1 脉冲位置相同 2 二者强度 即曲面下 体积 相同 只有这样 坐标变换才是等价的 20 几个二维 函数在两种坐标系中的位置关系 表1 21 考虑到脉冲强度的对应关系 下面给出两个二维 函数坐标变换的例子 显然 x y 和 r 的位置相同 例1 可见 脉冲位置和强度都相同 所以坐标变换成立 证明 x