ch1-3,4 函数极限定义与性质.ppt

复习,注意：,但未必是 的函数;,3. N与n无关,N不是唯一的.,几何解释:,推论,数列极限的性质,1.有界性,(全局性）,定理1 收敛的数列必定有界.,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2.唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,3.子列的收敛性,定理3 如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同.,第三节 函数极限的定义,一、自变量的变化过程,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,三、自变量趋向有限值时函数的极限,新课,第一章,一、自变量的变化过程,播放,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,通过上面演示实验的观察:,问题:,定义 设 f(x) 在 x 0有定义 , 对任意给定的无论多么小的正数 ,总存在正数 X , 当 x X 时， 恒有 | f(x)A|， 则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 .,1. x +时 f (x) 的极限,几何意义,2. x - 时 f (x) 的极限,定义 设 f(x) 在 x 0有定义 , 对任意给定的正数 ,总存在正数 X , 当 x- X 时，恒有| f(x)A|，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x- 时的极限 .,记为,无论多么小,几何意义,3. x 时f(x)的极限,定理：,几何意义,注,否,几何意义, 0, 总存在正数 0,只要 f 的定义域中的点 x 满足0|x x0| 时，恒有 |f(x)A| 成立，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x x0时的极限, 简称 A 是 f (x)在 x0 处的极限.,说明,如：,也并不是唯一.,2.几何解释:,例1.,证,例2,证,函数在点x=1处没有定义.,例3,证,用定义证明 的过程 ：,1. 把| f(x)A| 化简为 | f(x)A| k |x x0| ;,2. 要| f(x)A|,只要 k |x x0| ;,4. 验证.,重要结论,幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数等基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值.,2.单侧极限:,问题：,设,如何证明 ?,左极限定义,右极限定义,定理,由此有,左右极限存在但不相等,例4,证,重点,5,例 5,解：由图可知,( 如作业P18 二6),四、函数极限的性质,定理1 若极限 (或 )存在，则极限是惟一的.,1. 极限的惟一性,有界,函数的有界性:,设f(x)在区间I上有定义,则称 f(x) 在I 上有界.,否则称无界.,例：,无界,2. 有极限的函数的局部有界性,补充,函数有界的另一种定义:,设 f(x) 在区间 I 内有定义,若 M1 和 M2 使xI, 都有 M1 f(x),0 ?,不能!,定理(保序性),推论,由此也可证“极限的唯一性”,?,不能!,当,但 A=B=0,4.函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,例如,则,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. (Heine定理，又称归并原则),即,判别极限不存在的一个命题,例6,例6,证,二者不相等,另证,五、小结,1. 函数极限的统一定义,(见下表),过 程,时 刻,从此时刻以后,2.,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,sinx/x,x,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,备注Heine定理海涅定理limx-af(x)=b存在的充要条件是:对属于函数f(x)定义域的任意数列，且limn-an = a，ana，有limn-f(an)=b。海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。 因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限是否存在。