椭圆的伴随圆系及其性质.doc

椭圆的伴随圆系及其性质张小宇 广东阳东县第一中学（529931）1 椭圆的伴随圆的含义所谓椭圆的伴随圆是指与椭圆有关的圆，如椭圆的内切圆是常见的一种伴随圆，在数学通报2007年第3期中刘耀斌老师和顾越岭老师对抛物线的伴随圆系及其性质进行了研究,本文主要对椭圆的伴随圆系方程及性质进行探究.并且归纳出椭圆离心率的第三定义.定理1设椭圆的方程则内切圆系的方程为 (为参数,且， ) ( I ) 证明 设为椭圆上任意一点,则有过该点的切线方程为(用直线和椭圆联立,判别式等于零即可求得).该点的切线斜率为,该点法线斜率为,从而相应的法线方程为.椭圆关于轴对称,所有的内切圆的圆心必在轴上从而要求圆心的坐标只须令法线方程中为零即可.由此可知圆心的横坐标为,纵坐标为0.设内切圆的半径为,则.内切圆系的方程为 (为参数,且， )例1 求椭圆的内切圆系的方程. 解: 由椭圆可知代入( I ) 中得到 (其中为参数,且) 这就是椭圆内切圆系的方程.1.2以焦点弦为直径的伴随圆系定理2 设椭圆则以右焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(为参数,且)(II)证明 的右焦点的坐标为， 设焦点弦所在的直线斜率为,则所在的直线方程即为,将其与联立,分别消去,得.设两点的坐标分别为,则是方程的两个根,而是方程两个根,于是有韦达定理,分别得. 设伴随圆的圆心为,则有设伴随圆的半径为，则 .伴随圆系的方程为(为参数,且)例2 求椭圆以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程. 解:由椭圆可知带入方程(II)得(为参数,且)即上式就是所求的伴随圆系的方程.推论1 同理可以求出设椭圆则以左焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(为参数,且) 并且这两组伴随圆系关于原点对称. 1.3 以焦点弦为弦且过顶点的伴随圆系 定理3 设椭圆则以右焦点弦为弦且过右顶点的伴随圆系的方程为（为参数，且，） （III）证明 设焦点弦端点的坐标分别为,则所求伴随圆过右顶点,三点.设伴随圆的一般方程为.则将三点的坐标分别带入得到方程组： 将两个方程分别相加和相减 .将分别求解的表达式,并用定理2证明过程当中分别带入 中, 式除以,则借助于斜率公式,即可得到如下方程组:. 解此方程组非常麻烦，要借助互相转化，把表示为代入到中，把表示为带入中化简可得出，.代入圆的一般方程，得.这就是所求椭圆以右焦点弦为弦且过右顶点的伴随圆系的方程。将其配方得 （为参数，且，）设伴随圆的圆心为，则.设伴随圆的半径为，则.例3求椭圆右焦点弦为弦且过右顶点的伴随圆系的方程.解 由可知代入（III），得(为参数,且)即所求椭圆右焦点弦为弦且过右顶点的伴随圆系的方程.同样我们可以讨论右焦点弦为弦且过左（上，下）顶点的伴随圆系的方程，左焦点弦为弦且过右（上，下）顶点的伴随圆系的方程.2 伴随圆系的性质性质1 椭圆有最大和最小内切圆.证明 且，.当且仅当时，半径有最小值是（既是椭圆的焦半径），从而内切圆有最小的面积. 当且仅当时，半径有最大值是（既是椭圆短轴半轴），从而内切圆有最大的面积.性质2 椭圆内切圆的圆心轨迹为线段.证明 设内切圆圆心为 则由方程( I ) ，可知（为参数,且），综合即得.它表示椭圆内切圆的圆心轨迹位于轴上，是始于点，终于点的线段.性质3 椭圆离心率第三定义：以焦点弦为直径的伴随圆的半径与圆心到相应准线距离之比是离心率.证明 椭圆的准线方程为，而由方程(II)可知，以焦点弦为直径伴随圆圆心（以右焦点弦为例）的横坐标为，从而圆心到左准线的距离为，即.例4 已知椭圆，以右焦点弦为直径的伴随圆的半径是，求圆心到右准线的距离.解 由椭圆可知. 根据性质3，可知代入可求得.性质4 椭圆以焦点弦为直径的伴随圆的圆心的轨迹为椭圆。证明 设伴随圆的圆心为则由方程（II）知（以右焦点弦为例）消去参数，得，配方可得： .所以圆心的轨迹表示以为圆心，焦点在轴上的椭圆.推论2 所求轨迹的椭圆的离心率和原来的椭圆的离心率相同.性质5 椭圆以右焦点弦为弦且过右顶点伴随圆的圆心的轨迹也是椭圆.证明设伴随圆的圆心为 则由方程（III）知.消去参数，得，配方可得： .所以圆心的轨迹表示以为中心的椭圆.同样我们可以讨论双曲线的伴随圆系及其性质这里不详述了