向量组的线性相关性教案

第四章 向量组的线性相关性1教学目的和要求：（1）理解n维向量、向量的线性表示的概念.（2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.（3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.（4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系.（5）理解线性方程组解的性质.（6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.（7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念.（8）会用初等行变换求解线性方程组.2教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构. 3教学难点：（1）向量组的线性相关性中相关定理的证明.（2）求向量组的秩及最大线性无关组.（3）线性方程组的解的结构定理及其应用. 4教学内容：1 向量组及其线性组合定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量,这个数称为该向量的个分量,第个数称为第个分量.定义2 对维向量及, 若有数组,使得， 称为的线性组合,或可由线性表示例1 设, , , 试判断可否由线性表示?解 设，比较两端的对应分量可得 , 求得一组解为 于是有, 即可由线性表示注 取另一组解时, 有 定理1 向量能由向量组:线性表示的充分必要条件是矩阵=的秩等于矩阵的秩=. 定义3 设有两个向量组:及:, 若组中每个向量都能由向量组线性表示, 则称向量组能由向量组线性表示.若向量组与向量组能互相线性表示, 则称这两个向量组等价. 定理2 向量组:能由向量组:线性表示的充分必要条件是矩阵=的秩等于矩阵的秩=的秩, 即 推论 向量组:与向量组:等价的充分必要条件是, 其中和是向量组和所构成的矩阵. 定理3 设向量组:能由向量组:线性表示, 则课后作业: 习题四 1，2，3，4，52 向量组的线性相关性定义4 线性相关：对维向量组, 若有数组不全为0, 使得 则称向量组线性相关, 否则称为线性无关 线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 则称向量组线性无关, 否则称为线性相关 注 对于单个向量：若, 则线性相关； 若, 则线性无关 对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关. 例2 判断例1中向量组的线性相关性 解 设, 比较两端的对应分量可得 即因为未知量的个数是4, 而, 所以 有非零解, 由定义知线性相关 例3 已知向量组线性无关, 证明向量组 , , 线性无关证 设 , 则有 因为线性无关, 所以 , 即 系数行列式 , 该齐次方程组只有零解 故线性无关 例4 判断向量组 , , , 的线性相关性 解 设 , 则有 只有 故线性无关. 定理4 （1）向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示证 必要性 已知线性相关, 则存在不全为零, 使得 不妨设, 则有 充分性 不妨设 , 则有 因为不全为零, 所以线性相关（2）若向量组线性无关, 线性相关，则可由线性表示, 且表示式唯一证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 若, 则有 矛盾! 故, 从而有 下面证明表示式唯一： 若 , 则有 因为线性无关, 所以 即的表示式唯一（3）线性相关线性相关 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 数组不全为零, 故线性相关 推论 向量组线性无关任意的部分组线性无关 定理5 设 (1) 线性相关； (2) 线性无关证 设 比较等式两端向量的对应分量可得 即 由定理可得： 线性相关有非零解 推论1 在定理5中, 当时, 有 (1) 线性相关； (2) 线性无关 推论2 在定理5中, 当时, 有 (1) 线性相关中所有的阶子式（）； (2) 线性无关中至少有一个阶子式() 推论3 在定理5中, 当时, 必有线性相关 因为, 由定理5(1)即得 推论4 向量组： 向量组： 若线性无关, 则线性无关(即无关组添加分量仍无关). 证 线性无关 是的子矩阵 线性无关定理6 划分, 则有 (1) 中某个中“所在的”个行向量线性无关； 中“所在的”个列向量线性无关 (2) 中所有中任意的个行向量线性相关；中任意的个列向量线性相关证 只证“行的情形”： (1) 设位于的行, 作矩阵, 则有 线性无关 (2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵, 则有线性相关 注 称为的行向量组, 为的列向量组3 向量组的秩 定义5 向量组的秩：设向量组为, 若 (1) 在中有个向量线性无关； (2) 在中任意个向量线性相关（如果有个向量的话） 称为向量组为的一个最大线性无关组, 称为向量组的秩, 记作：秩 注 (1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0 (2) 秩时, 中任意个线性无关的向量都是的一个最大无关组 例如, , , , 的秩为2 线性无关是一个最大无关组 线性无关是一个最大无关组 注 一个向量组的最大无关组一般不是唯一的. 定理7 设, 则 (1) 的行向量组（列向量组）的秩为； (2) 中某个中所在的个行向量（列向量）是 的行向量组（列向量组）的最大无关组证 只证“行的情形”： 中某个, 而中所有 由定理6中所在的个行向量线性无关 中任意的个行向量线性相关 由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的个行向量是 的向量组的最大无关组 例5 向量组：, , , 求的一个最大无关组 解 构造矩阵 求得秩 矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式 故是的一个最大无关组 注 为行向量组时, 可以按行构造矩阵 定理8 (1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关） “的列”线性相关（线性无关）； (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关） “的行”线性相关（线性无关） 证 (1) 划分, 由可得 故方程组 与方程组 同解于是有 线性相关 存在不全为0, 使得 存在不全为0, 使得 线性相关 同理可证(2) 注 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形 矩阵的秩为时, 的非零行中第一个非零元素所在的个列 向量是线性无关的定义6 等价向量组：设向量组, 若可由线性表示, 称可由线性表示；若与可以互相线性表示, 称与等价 (1) 自反性：与等价 (2) 对称性：与等价与等价(3) 传递性：与等价, 与等价与等价定理9 向量组与它的最大无关组等价 证 设向量组的秩为, 的一个最大无关组为 (1) 中的向量都是中的向量可由线性表示； (2) 任意, 当时, 可由线性表示； 当时, 线性相关, 而线性无关 则可由线性表示故可由线性表示 因此, 与等价推论 向量组的任意两个最大无关组等价 定理10 向量组, 向量组 若线性无关, 且可由线性表示, 则 证 不妨设与都是列向量, 考虑向量组 易见, 秩秩构造矩阵 因为可由线性表示, 所以 于是可得 秩 推论1 若可由线性表示, 则 秩秩证 设 秩, 且的最大无关组为； 秩, 且的最大无关组为, 则有 可由线性表示可由线性表示 可由线性表示 （定理10） 推论2 设向量组与等价, 则 秩秩 注 由“秩秩”不能推出“与等价”！ 正确的结论是： 与等价 与等价 例6 设, 则 , 证 设, , , 则 即可由线性表示, 故 根据上述结果可得 4 线性方程组解的结构 , , 齐次方程组 非齐次方程组 () 结论 (1) , 与同解 (2) 有非零解 (3) 有解 (4) 设, 则 时, 有唯一解； 时, 有无穷多解 定义7 (1) 的解空间: 解集合 故构成向量空间, 称为的解空间 (2) 的基础解系不妨设的一般解为 () 依次令 可求得 , , , 因为 (1) 线性无关 (2) , 所以是解空间的一个基, 称为的基础解系 例7 设, 求的一个基础解系 解 , 同解方程组为 依次取 , 可求得基础解系为 , (3) 解的结构 , , 是的解设的一个基础解系为 的特解为, 一般解为, 则有 () 例8 设, , 求的通解 解 同解方程组为 基础解系：, ；特解：通解： () 例9 设, 的3个解满足 , , 求的通解 解 的基础解系中含有个解向量 因为 所以 是的基础解系 又 是的特解 故的通解为 例10 设, 是的解, 证明： 是的基础解系线性无关 证 (1)必要性 设数组使得 左乘, 利用可得 因为, 所以 由此可得 因为是的基础解系, 所以线性无关, 从而有 故线性无关 (2)充分性 是的解向量 设数组使得 则 因为线性无关, 所以只有 , 故向量组线性无关因此 是的基础解系5 向量空间 定义8 (1) 向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合, 若 对任意的, 有； （加法封闭） 对任意的, , 有（数乘封闭） 称集合为向量空间例如 是向量空间 是向量空间 不是向量空间 , 即数乘运算不封闭 例11 给定维向量组, 验证 是向量空间称之为由向量组生成的向量空间, 记作 证 设, 则 , , 于是有 由定义知, 是向量空间 (2) 子空间：设和都是向量空间, 且, 称为的子空间 例如 前面例子中的是的子空间 (3) 向量空间的基与维数：设向量空间, 若 中有个向量线性无关； 可由线性表示 称为的一组基, 称为的维数, 记作或者