8.2010年高考试题——(福建卷)数学理(全解析).doc

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类） 第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算sin43cos13-cos43sin13的结果等于A B. C. D. 【答案】A【解析】原式=，故选A。【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。2.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A. x2+y2+2x=0 B. x2+y2+x=0C. x2+y2-x=0 D. x2+y2-2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。3.设等差数列an前n项和为Sn . 若a1= -11,a4+a6= -6 ,则当Sn 取最小值时，n等于A.6 B. 7 C.8 D.9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。4函数的零点个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B.3 C.4 D.56.如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1 D1，则下列结论中不正确的是A. EHFG B.四边形EFGH是矩形C. 是棱柱 D. 是棱台所以，故，所以选项A、C正确；因为平面，所以平面，又平面， 故，所以选项B也正确，故选D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。7.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线（a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为A. 3- , ） B. 3+ , ） C. , ） D. , ）【答案】B【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。8.设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线3x-4y-9对称。对于中的任意点A与中的任意点B，AB的最小值等于A. B. 4 C. D. 2【答案】B【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。9.对于复数a,b,c,d，若集合S=a,b,c,d具有性质“对任意x,yS，必有x,yS”，则当时，b+c+d等于A. 1 B. -1 C. 0 D. i10.对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k,b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0D，使得当xD且xx0时，总有则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：f（x）=x2,g(x)= ; f(x)=10-x+2，g(x)= ;f(x)= ,g(x)= ; f(x)= ，g(x)=2(x-1-e-x).其中，曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是A B. C. D. 【答案】C【解析】经分析容易得出正确，故选C。【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。第卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。11.在等比数列an中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an（ ）【答案】【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（ ）。【答案】【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为。【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。13某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。【答案】0.128【解析】由题意知，所求概率为。【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。14已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。【答案】【解析】由题意知，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。15已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：对任意，有；函数的值域为；存在，使得；“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得”。其中所有正确结论的序号是 。【答案】【解析】对，因为，所以，故正确；经分析，容易得出也正确。【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分13分）设S是不等式x2-x-60的解集，整数m,nS。（）记“使得m+n=0成立的有序数组（m,n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；（）设=m2,求的分布列及其数学期望E。17.（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点。（）求椭圆C的方程；（）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。18.（本小题满分13分）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。（）证明：平面A1ACC1平面B1BCC1；（）设AB=AA1。在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P。（i） 当点C在圆周上运动时，求P的最大值；（ii） 记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为（0b0），且可知左焦点为从而有 解得 ， 又，所以，故椭圆C的方程为 （II）假设存在符合题意的直线，其方程为由 得 因为直线与椭圆C有公共点，所以，解得另一方面，由直线OA与的距离可得，从而。由于，所以符合题意的直线不存在。解法二：（I）依题意，可设椭圆C的方程为（ab0），且有： ， 解得或（舍去）。从而（II）同解法一18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。解法一 ：（I）平面，平面， 是圆O的直径， 又， 平面而平面，所以平面平面。（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则 故三棱柱的体积 又 当且仅当时等号成立。从而，而圆柱的体积，故，当且仅当，即时等号成立。所以，的最大值等于（ii）由（i）可知，取最大值时，于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则，平面，是平面的一个法向量设平面的法向量， 取，得平面的一个法向量为， 解法二：（I）同解法一（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则， 故三棱柱的体积 设， 则， 由于，当且仅当即时等号成立，故 而圆柱的体积， 故，当且仅当即时等号成立。 所以，的最大值等于 （ii）同解法一解法三：（I）同解法一（II）（i）设圆柱的底面半径，则，故圆柱的体积 因为，所以当取得最大值时，取得最大值。 又因为点C在圆周上运动，所以当时，的面积最大。进而，三棱柱的体积最大，且其最大值为 故的最大值等于（ii）同解法一19.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一：（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 = = 故当时，此时 即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。 （II）设小艇与轮船在B出相遇，则 故 ， 即，解得 又时， 故时，t取最小值，且最小值等于 此时，在中，有，故可设计寒星方案如下： 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇解法二：（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。 设小艇与轮船在C处相遇。 在中， 又， 此时，轮船航行时间， 即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（II）猜想时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时 又，所以，解得 据此可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 证明如下： 如图，由（I）得， 故，且对于线段上任意点P, 有 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时， 故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。 设，则在中， 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 和 所以， 由此可得， 又，故 从而， 由于时，取得最小值，且最小值为 于是，当时，取得最小值，且最小值为解法三：（I）同解法一或解法二（II）设小艇与轮船在B处相遇。依据题意得： ， （1） 若，则由 =得从而， 当时，令，则，当且仅当即时等号成立。当时，同理可得由、得，当时，（2） 若，则综合（1）、（2）可知，当时，t取最小值，且最小值等于此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分14分。解法一：（）（i）有f(x)=x3-x得f(x)=3x2-1=3(x-)(x+).当x(,)和(，)时，f(x)0;当x(，)时，f(x)0。（）曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即y=(3x12-1)x-2 x13.由得x3-x=(3x12-1)x-2 x13即（x-x1）2(x+2x1)=0,解得 x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1.进而有用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和S2=。又x2=-2x10，所以S2=,因此有。（）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线C，类似于（）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至解法二：（）同解法一。（）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C，类似于（）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。证明如下：用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3= 和。又x2=所以故21（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。解法一：（）由题设得：（）因为矩阵M为对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两点（0，0），（1，3），由点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点（0，0），（-2，2）.从而，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x。解法二：（）同解法一。（）设直线y=3x上的任意点（x,y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点（x,y），由由（x,y）的任意性可知，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y= -x。（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。解法一：故由上式及t的几何意义得解法二：（）同解法一。（）因为圆C的圆心为（0，），半径r=,直线l的普通方程为：y=-x+3+.由解得：或不妨设A（1，2+） ，B（2，1+）