线性控制系统极零点及稳定性.ppt

第二章多变量系统的极点 零点和稳定性Poles ZerosandStabilityofMultivariableFeedbackSystems 本章内容 传递函数的Smith McMillan标准形 传递函数的极点和零点 传递函数的矩阵分式描述 MFD 系统的内稳定 奈奎斯特稳定判据 2 1Introduction 多变量系统的传递函数矩阵transfer functionmatrix 最基本的系统的连接 connection 串联 series 并联 parallel 和反馈 feedback 连接 另外 逆系统也用于系统分析与设计中 是有理真分式 rationalproperfraction 对多变量系统的研究很多时候采用状态空间模型 求两个系统乘积 乘积表示系统串联使用关系时得乘积系统 反馈系统 有关系式 画出其结构图 则 回差 returndifference 回比 returnratios 逆系统InverseSystems 系统的逆系统 实质是把状态方程中的u y互换 如果两个系统表示为 则 实质为两系统串联 画出结构图 列输入输出的状态方程 由梅森公式得出 求逆系统 转换关系变换得逆系统 2 2传递函数的Smith McMillan形式 对极点 零点的一般化研究 需要Smith McMillan标准形式 单模阵 幺模阵 unimodular 与 常数 与s无关 都是多项 式矩阵 或 初等矩阵 elementarymatrix 单位矩阵经过一次初等变换 elementaryoperations 后的矩阵 初等变换 交换两行 或列 用常数乘以某行 或列 某行 或列 乘一多项式加到另一行 或列 上 两个矩阵等价 与 等价 记为 定理2 1 任意多项式矩阵等价于一个伪对角多项式 形式为Smith标准型Smithform pseudo diagonalpolynomialmatrix 是首一 monic 多项式 是 的不变因子 且满足 整除特性divisibilityproperty 是 的不变因子 invariantfactors 行列式因子 determinantaldivisors 例1 化下面多项式矩阵为Smith标准形式 怎样化标准形 定理2 2 Smith McMillanform 如果是有理函数矩阵rationalmatrix 具有一般秩 则可以通过系列初等变换化为Smith McMillan标准形 解释一般秩 Normalrank 例2 例2 例2 2 3传递函数的极点和零点PolesandZerosofatransferfunctionmatrix 定义 极点多项式 零点多项式 与 的根 roots 称为传递函数 的极点和零点 传递函数 的极点和零点的含义 极点 的分母中有因子 以该点为根 零点 的分子中不一定有因子 但该点使 的秩下降 但重数不能这样简单确定 极点多项式 的次数称为传递函数 的McMillan次 degree 零点 通常称为传递 输 零点 transmissionzeros 上面例2中 零点2 极点 1 1 2 都是简单的 simple 推论 如果 是方的 则 2 4矩阵分式描述MatrixFractionDescription MFD 设是严格真 strictlyproper 有理传递函数 和是单模阵 可化为Smith McMillan标准型 上式被称为的右矩阵分式描述 rightmatrixfractiondescription 同理有左矩阵分式描述 分子矩阵 numeratormatrix 分母矩阵 denominatormatrix 1 zisazeroofifandonlyiflosesrank 2 pisapoleofifandonlyiflosesrankMFD表示不是唯一的定义 右互质 rightcoprime 如果只对单模阵成立 则称与右互质这时称是不可约的 irreducible 怎样判定与右互质 存在多项式矩阵使得 如果是不可约的 irreducible 则的极点多项式 2 5状态空间实现StateSpaceRealization 显然有定理2 3 设有最小实现 是的首一极点多项式 则 例3 最小实现 下面的第二步G s 这样写是不对的 2 6多少零点 HowManyZeros 有零点的非方形传递函数是特殊的 一般的非方形传递函数无零点例4 怎样判定下面传递函数是否有零点 SISO传递函数情况 零点和极点 有m个有限 finite 零点 有n个有限极点如果 在无穷远处 atinfinity 有个零点如果 在无穷远处 atinfinity 有个极点在的极点和零点 通过在的极 零点来定义 传递函数是方阵情况 定理2 4 如果是方阵 那么它的极点和零点一样多 设在0有个零点 个极点 则总的极点数与总的零点数相等 非方形传递函数上面结论不成立 例5 有两个极点 没有零点 关于零点的进一步讨论 furtherdiscussion 介绍 设是方形 维数 最小实现 若 则在至少有个零点 这样至少有个零点在无穷远处因此至多个有限零点但当时 一般情况 的秩在无穷远处不下降 所以得有n个有限零点 若 至多有个有限零点 至少m个零点在无穷远处 当时 恰有个有限零点 当时 至多有个有限零点 更精确计算有限零点的数目需要检查马可夫 Markov 参数 更详细讨论Kailath 1980 MacFarlane 1976 IJC 2 7内部稳定性InternalStability 定义 指数稳定 exponentiallystable 正则 proper 且没有闭右半复平面 CRHP 极点 内部稳定 internallystable 如图所示反馈系统是内部稳定的 当且仅当传递函数 是指数稳定的 相对于外部稳定 这时称是内部稳定的 或镇定 可求出 两点说明 定义中排除了与不稳定的极零点相消 2 检验四个传函都是指数稳定的 内部稳定 指反馈系统 指数稳定 指传递函数 定理2 5 如果指数稳定 则图2所示反馈系统内部稳定当且仅当指数稳定 存在指数稳定时 称是可强镇定的strongstabilizable 证明 定理2 6 如果指数稳定 则指数稳定当且仅当在闭右半平面上没有零点 包括无穷远点includinginfinity 在的闭右半平面极点处解析 analytic 包括无穷远极点 更详细 细致 的结果 了解 例6 因此 不能镇定 正反馈 换为 设计者应遵循的原则 不能引入右半平面的极零点对消 附加作业 设求出并证明指数稳定的充要条件是指数稳定 2 8一般Nyquist稳定判据TheGeneralizedNyquistStabilityCriterion 取反馈 负反馈 并设在闭右半平面上有个极点和个零点 则由幅角原理 theprincipleoftheargument 注意 的极点就是的极点闭环系统稳定性分析 闭环系统稳定如果是的特征值 则是的特征值 所以判定稳定性问题转化为计算的Nyquist图围绕原点的圈数问题 进一步得绕点的圈数问题 与经典判据一样了 的图被称为特征轨迹characteristicloci 例7 取 下面的问题 数圈 和一起形成一个封闭曲线是一个单位圆 和分别构成上半圆弧和下半圆弧 所以时系统稳定 时系统不稳定 定理2 7 GeneralizedNyquistTheorem 如果有个不稳定Smith McMillan极点 则具有回比为的闭环系统稳定 当且仅当的特征轨迹一起逆时针包围点圈 假设没有隐藏不稳定模 没有极零点对消 例8 特征轨迹见下图 的Nyquist图 分析 再计算一个点 确定分支 设 取 则时 取 系统稳定系统不稳定