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文档简介

1 相似矩阵 第二节 2 一 相似矩阵的概念和性质 定义 对于n阶方阵A和B 若存在n阶可逆方阵P 使得 则称A与B相似 记为 矩阵的 相似 关系具有以下特性 1 反身性 2 对称性 证 3 传递性 证 3 相似矩阵的性质 定理 相似矩阵有相同的特征多项式 从而特征值相同 证 推论1相似矩阵的行列式相等 推论2相似矩阵的迹相等 4 注意 特征值相同的矩阵不一定相似 但它们不相似 因为对任意可逆阵P 即与E相似的矩阵只有它自己 相似矩阵的其它性质 相似矩阵的秩相等 5 A B同为可逆或不可逆 可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似 只证 3 其余证明留作练习 1 2 3 4 5 6 6 例1 解 另解 相似矩阵有相同的特征多项式 由 得 7 计算上面两个行列式 得到 比较等式两边同次幂的系数 得 8 n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 二 矩阵可相似对角化的条件 定理 如果一个矩阵能与一个对角阵相似 称该矩阵可以 相似 对角化 证 必要性 设A与一个对角阵相似 即存在一个可逆 阵P 使 9 即 即 即得 必要性得证 上述步骤倒过来写 即得充分性证明 10 推论1如果矩阵A的特征值互不相同 则A必可对角化 因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的 注意 这个条件是充分的而不是必要的 如果A的特征方程有重根 此时不一定有n个线性无关的特征向量 从而矩阵A不一定能对角化 但如果能找到n个线性无关的特征向量 A还是能对角化 即齐次线性方程组的基础解系所含的向量个数等于特征根的重数 11 解 例2 12 特征向量 特征向量 13 特征向量 特征向量 特征向量 14 令 则 15 解 特征向量 求可逆阵P 16 特征向量 可对角化 17 解 只有一个线性无关的特征向量 所以不能对角化 求可逆阵P 18 例5 解 得A的特征值为 19 20 例6 解 21 从而A可相似对角化 秩为1 22 从而A不可相似对角化 秩为2 23 一般来说 求矩阵的高次幂比较困难 但若矩阵A能对角化 即存在
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