集合和简易逻辑与函数.doc

天马文武学校高三数学辅导习题集合与简易逻辑林老师致高三学子：基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真学习，一定能大幅度地提升高考数学成绩。1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，则P+Q中元素的有_个。（2）设，那么点的充要条件是_（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_个2.遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，则实数_.3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足集合M有_个。4.集合的运算性质：； ； ； ；.如设全集，若，则A_，B_.5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：函数的定义域；函数的值域；函数图象上的点集，如（1）设集合，集合N，则_（2）设集合，则_6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。其中正确的是_8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若p 则q” ；逆否命题为“若q 则p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在ABC中，若C=900，则A、B都是锐角”的否命题为9.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如（1）给出下列命题：实数是直线与平行的充要条件；若是成立的充要条件；已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_（2）设命题p：；命题q:。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表： 或或RRR如解关于的不等式：。12. 对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_.13.一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？记住六种典型的区间根问题的等价不等式（、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。如（1）不等式的解集是，则=_；（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为_；（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_。15.基本的含参分析你会吗？所谓含参分析是统指求参数范围的一系列问题。而基本的含参分析特指已知两个集合，至少一个含参，已知这两个集合之间的关系而求参数范围的问题。含参分析的基本思路是列一组符合题意的不等式，通过这些不等式来约束参数的范围。特别注意：一列不等式，马上考虑是否取等，方法是看如果去等，还是否符合题意。如（1）已知p：|1|2，q：x22x+1m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. （2）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分条件， 则b的取值范围是_补充：恒成立问题小练：例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。例2：若不等式的解集是R，求m的范围。例3：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数f(x)在区间(1，1)上是增函数，求t的取值范围。例4. 函数是奇函数，且在上单调递增，又，若 对所有的都成立，求的取值范围 .授课人：天马文武学校教员林琅2008-9-1天马文武学校高三数学辅导习题函数1.映射: AB的概念。在理解映射概念时要注意：A中元素必须都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设是集合到的映射，下列说法正确的是A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（2）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点_（3）若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（4）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有_个（5）设是集合A到集合B的映射，若B=1,2，则一定是_2.函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数，那么集合中所含元素的个数有 个（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为1，4的“天一函数”共有_个4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。如（1）函数的定义域是_（2）若函数的定义域为R，则_（3）函数的定义域是，则函数的定义域是_（4）设函数，若的定义域是R，求实数的取值范围；若的值域是R，求实数的取值范围是（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。如（1）若函数的定义域为，则的定义域为_（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_5.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数的值域（2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（3）已知的图象过点（2,1），则的值域为_（2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）的值域为_（2）的值域为_运用换元法时，要特别要注意新元的范围；（3）的值域为_（4）的值域为_（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数，的值域（4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求的值域（5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆上，求及的取值范围（2）求函数的值域（3）求函数及的值域注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。（6）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，如求的值域型，先化简，再用均值不等式，如（1）求的值域（2）求函数的值域型，通常用判别式法；如已知函数的定义域为R，值域为0，2，求常数的值型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域特别注意：（7）不等式法利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（8）导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是_（2）已知，则不等式的解集是_7.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（2）代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。如（1）已知求的解析式；（2）若，则函数=_（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。（3）方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解析式（2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= _8. 反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数在区间1, 2上存在反函数的充要条件是A、B、C、D、（2）求反函数的步骤：反求；互换 、；注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数的反函数不是，而是。即先取反再赋值。如设.求的反函数（3）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数满足条件= x ，其中 0 ，若的反函数的定义域为 ，则的定义域是_函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，注意函数的图象与的图象相同。如（1）已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点_（2）已知函数，若函数与的图象关于直线对称，求的值 。如（1）已知函数，则方程的解_（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数，f (4)0，则 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知是上的增函数，点在它的图象上，是它的反函数，那么不等式的解集为_设的定义域为A，值域为B，则有，但。9.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是 （2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_.若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数_定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。判断与的奇偶性； 若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则_复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.10.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如（1）若函数 在区间（，4 上是减函数，那么实数的取值范围是_（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是_复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是_（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示 （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。11. 常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。如设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为_函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。如（1）若，则函数的最小值为_（2）要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的. 12. 函数的对称性。满足条件的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根，则_ 点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； 点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； 点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。如己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是_曲线关于点的对称曲线的方程为。如若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则_形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如（1）作出函数及的图象；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于_对称提醒：（1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，需证两方面：证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上。如（1）已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线。写出曲线的方程证明曲线C与关于点对称。13. 函数的周期性。（1）类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.如(1) 设是上的奇函数，当时，则等于_ (2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，且前者大于后者，则的大小关系为_（3）已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值（4）设是定义域为R的函数，且，又，则=注意求一个很大的数考虑直接求出周期。 14.指数式、对数式：， 。如（1）的值为_（2）的值为_15. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 16. 函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；建立型。17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，； 三角函数型： - 。如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则_ （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有A、 B、 C、 D、（2）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，求（3）如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴；（4）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是_ （3）利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若，满足，则的奇偶性是_（2）若，满足O 1 2 3 xy，则的奇偶性是_（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，又，求证为减函数；解不等式.（5）设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。判断f(x)的奇偶性，并加以证明；试问：当-20032003时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；解关于的不等式，其中.特别注意：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若满足，则是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在奇偶性:若函数满足，则是奇函数若函数 满足，则是奇函数若函数 满足=，则是奇函数若函数满足，则是偶函数。（6）已知定义在上的函数满足：值域为，且当时，；对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：试求的值；判断并证明函数的单调性；特别注意：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值18、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_19、导函数的概念：如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数 ，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做在开区间（a,b）内的导函数， 记作 ，导函数也简称为导数。特别注意：导数定义变形式的应用。20、求在处的导数的步骤：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。21、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。如（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_（3）已知函数（为常数）图象上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_（4）曲线在点处的切线方程是_（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。求的值；求过点的曲线的切线方程22、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即（C为常数）；（2），与此有关的如下：；（3）若有导数，则；。如（1）已知函数的导数为，则_（2）函数的导数为_（3）若对任意，则是_23、多项式函数的单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性：若,则为增函数；若,则为减函数；若恒成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数。若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。如（1）函数，其中为实数，当时，的单调性是_（2）已知函数为常