D8_3 多变量函数的微分和偏导数ppt课件

第八章第三节 机动目录上页下页返回结束 二 多变量函数的偏导数 三 高阶偏导数 多变量函数的微分和偏导数 第八章 一 多变量函数的微分 1 一 多变量函数的微分 2 是 的线性主部 定理8 3 1如果f x y 在M0 x0 y0 处可微 则f x y 在M0 x0 y0 处连续 3 定义8 3 1 在点 存在 的偏导数 记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动目录上页下页返回结束 注意 二 多变量函数的偏导数 4 同样可定义对y的偏导数 若函数z f x y 在域D内每一点 x y 处对x 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 偏导数 记为 机动目录上页下页返回结束 或y偏导数存在 5 例1 求 解法1 解法2 在点 1 2 处的偏导数 机动目录上页下页返回结束 6 例2 设 证 例3 求 的偏导数 解 求证 机动目录上页下页返回结束 7 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证 证 说明 R为常数 不能看作 分子与分母的商 此例表明 机动目录上页下页返回结束 整体记号 8 若在 x y 处可微 则 偏导数也叫偏微商 这种叫法源于其本质上是一个一元函数微商 但对于二元函数而言不具有商的性质 只是一种记号 9 二元函数偏导数的几何意义 是曲线 在点M0处的切线 对x轴的斜率 在点M0处的切线 斜率 是曲线 机动目录上页下页返回结束 对y轴的 10 函数在某点各偏导数都存在 显然 例如 注意 但在该点不一定连续 上节例目录上页下页返回结束 在上节已证f x y 在点 0 0 并不连续 11 二元函数可微则偏导数存在 但偏导数存在 函数不一定可微 定理8 3 2如果z f x y 的两个偏导数在M0 x0 y0 处都是连续的 则f x y 在M0 x0 y0 处可微 12 例如 三元函数u f x y z 在点 x y z 处对x的 可微与偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 机动目录上页下页返回结束 偏导数定义为 请自己写出 可微的定义为 13 14 三 高阶偏导数 设z f x y 在域D内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数 则称它们是z f x y 的二阶偏导数 按求导顺序不同 有下列四个二阶偏导 机动目录上页下页返回结束 数 15 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 z f x y 关于x的三阶偏导数为 z f x y 关于x的n 1阶偏导数 再关于y的一阶 机动目录上页下页返回结束 偏导数为 16 例6 求函数 解 注意 此处 但这一结论并不总成立 机动目录上页下页返回结束 的二阶偏导数及 17 例如 二者不等 机动目录上页下页返回结束 18 例7 证明函数 满足拉普拉斯 证 利用对称性 有 方程 机动目录上页下页返回结束 19 则 证明目录上页下页返回结束 证 令 则 令 定理 8 3 3 20 同样 21 在点 连续 得 22 例如 对三元函数u f x y z 说明 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立 函数在其定义区域内是连续的 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 当三阶混合偏导数 在点 x y z 连续时 有 而初等 23 把区域D中有n阶连续偏导数的函数全体记作 把区间I中有n阶连续导数的一元函数全体记作 24 作业 第三节目录上页下页返回结束 P66 681 3 2 9 9 1 11 13 17 25 第四节 一元复合函数 求导法则 微分法则 机动目录上页下页返回结束 复合函数的微分法 第八章 26 本节内容 一 复合函数求导的链式法则 二 Jacobi矩阵 三 方向导数和梯度 四 全微分的不变性 五 例题 27 一 复合函数求导的链式法则 写成矩阵形式 28 一般地 设可微 而 29 例1 设 解 机动目录上页下页返回结束 30 例2 解 机动目录上页下页返回结束 31 例3 证明函数u 1 r满足方程 其中 Laplace方程 调和函数 32 若函数 处偏导连续 在点t可导 则复合函数 证 设t取增量 t 则相应中间变量 且有链式法则 机动目录上页下页返回结束 有增量 u v 33 全导数公式 t 0时 根式前加 号 机动目录上页下页返回结束 34 若定理中 说明 例如 易知 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在 机动目录上页下页返回结束 则定理结论不一定成立 35 中间变量多于两个的情形 例如 机动目录上页下页返回结束 36 又如 当它们都具有可微条件时 有 注意 这里 表示固定y对x求导 表示固定v对x求导 口诀 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 与 不同 机动目录上页下页返回结束 37 例4 设 求全导数 解 注意 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动目录