高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习.docx

3.1.1 数系的扩充和复数的概念 A基础达标1.以3i的虚部为实部，以3ii2的实部为虚部的复数是（）A.1iB.1iC.33i D.33i解析：选A.3i的虚部为1，3ii213i，其实部为1，故所求复数为1i.2.在复平面内，复数z（a22a）（a2a2）i是纯虚数，则（）A.a0或a2 B.a0C.a1且a2 D.a1或a2解析：选B.因为复数z（a22a）（a2a2）i是纯虚数，所以a22a0且a2a20，所以a0.3.若xii2y2i，x，yR，则复数xyi（）A.2i B.2iC.12i D.12i解析：选B.由i21，得xii21xi，则由题意得1xiy2i，根据复数相等的充要条件得x2，y1，故xyi2i.4.复数za2b2（a|a|）i（a，bR）为实数的充要条件是（）A.|a|b|B.a0且abD.a0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，得a0，故应选D.5.下列命题：若zabi，则仅当a0，b0时z为纯虚数；若zz0，则z1z20；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3解析：选A.在中未对zabi中a，b的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z11，z2i，则zz110，但z1z20，故错误；在中忽视0i0，故也是错误的.故选A.6.如果x1yi与i3x为相等复数，x、y为实数，则x，y.解析：由复数相等可知所以答案：17.已知复数zm2（1i）m（mi）（mR），若z是实数，则m的值为.解析：zm2m2im2mi（m2m）i，所以m2m0，所以m0或1.答案：0或18.若复数z（sin cos 1）（sin cos ）i是纯虚数，则sin2 017cos2 017.解析：由题意得由得sin cos 1，又sin2cos21.所以或所以sin2 017cos2 017（1）2 01702 0171.答案：19.已知复数z（m25m6）（m22m15）i.（1）若复数z是实数，求实数m的值；（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（4）若复数z是0，求实数m的值.解：（1）当m22m150时，复数z为实数，所以m5或3.（2）当m22m150时，复数z为虚数.所以m5且m3.所以实数m的取值范围为m|m5且m3.（3）当时，复数z是纯虚数，所以m2.（4）当时，复数z是0，所以m3.10.已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值.解：设（x0，y0）是方程组的实数解，由已知及复数相等的意义，得由得代入得.所以实数a，b的值分别为1，2.B能力提升11.“复数4a2（1aa2）i（aR）是纯虚数”是“a2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.因为1aa20，所以若复数4a2（1aa2）i（aR）是纯虚数，则4a20，即a2；当a2时，4a2（1aa2）i7i为纯虚数，故选B.12.使不等式m2（m23m）i（m24m3）i10成立的实数m的取值集合是.解析：由已知，得解得m3，所以所求的实数m的取值集合是3.答案：313.已知关于x的方程x2（23i）x5mii0有实数根，求纯虚数m.解：由于m是纯虚数.设mbi（bR，且b0）.设方程的实数根为a，则代入原方程整理得（a22a5b）（13a）i0.因为a，bR，所以由复数相等的充要条件，得，解得b，所以纯虚数mi.14.（选做题）已知复数z1a22aai，z22xy（xy）i，其中a，x，yR，且z1z2，求3xy的取值范围.解：由复数相等的充要条件，得，消去a，得x2y22x2y0，即（x1）2（y1）22.法一：令t3xy，则y3xt.分析知圆心（1，1）到直线3xyt0的距离d