对质点系角动量定理的讨论.doc

目 录摘 要1Abstract11 引言12 惯性系中质点系角动量定理12.1惯性系中角动量定理的推导12.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论22.3惯性系中质点对轴的角动量定理32.4刚体定轴转动时对转轴的角动量33 非惯性系中的角动量定理44 应用54.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用54.2刚体做定轴转动时对轴上任一点的角动量定理和应用65 结论6参考文献7对质点系角动量定理的讨论摘 要：通过对质点系角动量定理推导以及讨论其在具，体问题中的应用，并且结合其在惯性系、非惯性系以及质心系的情况下的公式和它们之间的联系，明确了解了角动量定理在解决力学相关问题的重要性，从而为解决相关力学问题提供帮助。关键词：质点系；角动量；参考点；轴；质心Discussion on the Theorem of Angular Momentum of ParticleAbstract: Through to discuss of the particle system and angular moment theorem andits specific problems, and to combinate with the application in the inertial system, noninertial system under the conditions of the heart and the quality of the formula and the relationship between them, we understanded the angular momentum in solving problems which related to the mechanical theorems and its importance clearly, and proved a lot of help to solve the related mechanical problems.Key Words: Particle; Angular momentum; Reference points; Axis; centroid.1引言角动量定理在质点系中的应用在力学相关问题中非常重要，本论文主要是通过上学期对质点系角动量在惯。性系，非惯性系，以及质心系内的研究与讨论，总结出的一些公式和规律，为掌握解决问题方法提供方便。2惯性系中质点系角动量定理2.1惯性系中角动量定理的推导质点系内各质点对参考点的角动量的矢量和看作质点系对点的角动量，设由n个质点组成的质点系，在惯性参考系中，各质点的速度分别用，表示，相对于参考点的位置矢量分别为，质量分别为，将质点系的角动量记作。则 (1)而任一质量对于参考点的角动量定理用于质点系内的质点： (2)表示质点的角动量，质点所受的力矩可分为内力矩和外力矩，于是 (3)根据牛顿第三定律，质点与质点之间的相互作用力，且二力作用在一条直线上，与到点的垂直距离都等于，故作用力与反作用力对点的力矩大小相等方向相反，可见成对出现的内力对点的力矩矢量和为0，将求和与导数运算交换顺序后，并考虑到即质点系的角动量，得 (4)为力矩的矢量和，成为质点系对参考点的角动量定理1。2.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论各种表达式之间有一定的联系。在惯性系中对动点的角动量可表示为 (5)(5)式表明：质点系相对于惯性系中变动参考点的角动量，等于其相对于点的角动量与其总动量平移到点后相对同一定点的角动量之差2。当动点就是质心时，由公式得到一般的结果 (6)若把(6)式代入(5)式，可得一个非常有用的公式，即 (7)(7)式表明：质点系相对于惯性系中动点的角动量等于其对质心的角动量与质点系动量对点的角动量之矢量和。2.3惯性系中质点对轴的角动量定理现在仅研究几个质点分别与轴的垂直的平面内运动的情况，将其应用于某一点得 (8)质点所有的合力对轴的力矩可分为内力矩和外力矩，故上式可写作 (9)由于，其在轴上的投影也等于0，再将求和与求导运算交换顺序，(9)式可写作 (10)其表示质点系所受一切外力对轴的力矩之和，为质点系对轴的角动量，上式表示质点系对于轴的角动量对时间的变化率等于参考点所受一切外力对于轴的力矩之和，叫做质点对轴的角动量定理3。2.4刚体定轴转动时对转轴的角动量对轴的角动量是作为对点的角动量在坐标轴上的投影而引入的。由于刚体是较为特殊的质点系所以通过下面的综述使解决刚体的问题变得更为简单。设轴即刚体转轴，将公式应用于刚体，刚体对轴的角动量为 (11)因，故有 (12)(12)式右括号内为各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，显然，它决定与刚体本身的质量分布以及转动轴线的位置，叫作刚体对定轴的转动惯量。用表示 (13)式中为转动惯量4。刚体对轴的角动量可写作，将它与动量相比，转动惯量和角速度分别可与惯性质量和速度相比拟。这转动惯量恰是对一定转轴转动惯性的度量，正是由于这种特性导致刚体这种质点系的角动量定理变得简单了： (14)将其变形后可得 (15)(15)式中称为作用于刚体地个外力矩的冲量矩。上式意为刚体对轴角动量的增量等于该轴外力矩冲量矩的代数和，式用冲量矩表述的角动量定理。并由此又进而推出了转动定理：他表示刚体绕定轴转动时刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于对此转动轴线的合力矩，叫做刚体定轴转动的转动定理。由此可以与牛顿第二定律相比：力使质点产生加速度，而力矩产生角加速度。3非惯性系中的角动量定理在非惯性系(或质心系)中对定点(设与上述惯性系中点是同一点)的角动量可表示为 (16)(16)式表明：在非惯性系中对定点的角动量，等于其对质心的角动量与质心对点的位矢与叉积之矢量和。虽然(16)式与(7)式形式相似，但其本质不同。(7)式为在惯性系中对动点计算角动量，为在非惯性系中对同一点为定点计算角动量。可见，在不同参考系中即便是对同一点如点计算角动量，一般也不相等。但对质心，这个特殊点则恒有这是因为 (17)显然(17)式等号右边第一项为，第二项为，即有。这说明：在惯性系中对质心计算角动量与在质心系中对质心计算角动量总是相等的6，这正是质心的一个重要特征，考虑到。则由(9)式与(10)式可得 (18)从(1)式可以看出，在两个相互平动的参考系中对同一点计算角动量所得值一般是不等的，除非是对质心或与平行时才有，这一点应当特别注意，表中式 (19)在平动加速参考系中对质心以外的其他参考点来说，合外力矩不等于角动量的时间变化率，出现附加项(惯性力力矩) (20)若参考点与质心重合，则，此时附加项为零，(17)式与(18)式等价；若平行于，则附加项也为零，(19)式与(20)式等价；若（不一定为零），则附加项也为零，(19)式与(20)式也等价。这说明，一般情况下附加项与点的加速度有关，与点的速度无关7。4应用4.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用角动量定理的数学表达式为： (21)其中：外，分别为质点系外力矩的矢量和与质点系的角动量。由于是某参考点向质点的矢径，的大小和方向不仅与质点的位置有关，而且与参考点的选择有关8。另外，在此定理的推导下应用了牛顿第二定理及注意到只有参考点是参照系中的一个固定点时，才表示质点的速度。因此质点系的角动量定理是对惯性系中的的一个固定参考点的规律，故和均加了下标“”。4.2刚体做定轴转动时对轴上任一点的角动量定理和应用设刚体绕定轴Z转动，在Z轴上任选一原点，建立固定坐标系，刚体的角速度。在定轴转动中，刚体上任一质元以点为圆心，作半径为的圆周运动。令质元对的矢径为，因为刚体上所有质元的速度都满足关系 (22)所以刚体上任一点o的角动量为： (23)因为和一般并不等于零，所以刚体定轴转动的角动量的方向与刚体角速度的方向一般并不相同。很明显，只有时，的方向才与的方向一致注意到在的3个坐标分量中，唯有轴分量中只出现和，与无关，所以它与参考点在轴的位置无关，从而具有对轴的性质。另外在刚体的定轴转动中，转动的方向被限制固定在空间，而且相对于刚体也是固定的，质元到转轴的距离不变，因此为常量，于是在转轴的分量大小为方向与的方向相同，此结论与转轴是否为坐标轴无关9。简证如下为区别起见，将转轴设为轴，角速度方向为其正方向，因为是定轴转动，无论转轴的方位如何，从中可清楚看出，刚体中任一质元的速度仍为，对原点的矢径，将其代入动量式有 (24)(24)式中第一项的方向垂直于项方向沿且和的方向相同，大小为因此在转轴上的投影就是第二项在转轴上的投影。只要转轴确定，就完全确定，与坐标系的选择无关10。可见它正是刚体定轴转动的反映，因此称其为刚体对轴的角动量。5结论通过对质点系角动量定理的谈论，我们可以对质点系的角动量定理所具有的规律进行归纳总结，在解决相关角动量定理的问题中可以灵活运用，并且使角动量定理与更多其他物理现象相联系，正因为其所具有的这种普遍性，所以在解决问题中有重大应用。参考文献：1 漆安慎，杜婵英力学M北京：高等教育出版社，2005：102-120.2 周衍柏理论力学教程M北京：高等教育出版社，1996：253-259.3 胡惠玲，林纯镇，吴惟敏理论力学基础教程M北京：高等教育出版社，1996：168-1934 蔡伯濂大学物理力学教学研究M北京：北京大学出版社，1982：198-2065 董云峰，段文峰理论力学M北京：清华大学出版社，2006：259-2646 Chaang-Yung Kung. A Case Study of Avionics Manufacturer in TaiwanJ. Quality & Quantity, 2006:577-593.7 马文蔚物理学上册M北京：高等教育出版社，1995：1391458 柴莉莉质点角动量定理M中国科技信息，2009：9-159 Nikos Mamoulis, Spiridon Bakiras. On Discovering Moving Clusters in Spatio-temporal DataM.