[数学]锦城下期期末《高等数学》第一套复习题评讲200962

高等数学复习题第 一 套评 讲June 2, 2009,1. 求 和,解,2. 设求 和 。,解,3. 设 求二阶偏导数 和 。,解,4. 求函数 f(x,y)=x2y3 在点(2, -1) 处的全微分。,解,5. 设 , 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 和 。,解,注意：,6. 求函数 的极值。,解求二元函数极值的方法 定理2, 53页步骤 54页,二元函数极值的充分条件,定理 2,是驻点：,二阶偏导数,教材53页,是极值,是极小值,是极大值,不是极值,6. 求函数 的极值。,解,驻点,为极大值,7. 要造一个容积为 4 立方米的无盖的长方体容 器，问容器的长、宽、高各为多少米时，容器的表面积最小？,解 设容器的长、宽、高分别为 x、y、z,则容器的表面积为 S=xy+2xz+2yz求 S=xy+2xz+2yz 在条件 xyz=4下的最小值。,求函数,在条件,下的极值,Lagrange乘数法,(1),作Lagrange函数：,(2),求 的驻点：,（根据多元函数极值的必要条件）,教材58页,约束条件,解以上方程组，,得驻点：,(3),便是可能的条件极值点,可根据实际问题断定,为条件极值,用Lagrange乘数法,求函数,在约束条件,下的最小值。,解,作Lagrange函数,求 F 的驻点,由实际问题知，在该驻点，S 取得最小值,此时表面积最小,由实际问题知，在该驻点，S 取得最小值,另解 （化为无条件极值问题）,目标函数,定义域是开区域,最值将在区域内部取到,求驻点,得驻点：,S 取得极小值,当,时,表面积最小,S 取得极小值,求函数 z=ln(x+y) 在点(1, 2)处的梯度和在该点沿方向 l=(1,1) 的方向导数。,向量,是使函数在一点增加得最快的方向,称向量,为函数 z = f(x, y)在点 (x, y) 处的梯度向量，简称梯度 (gradient)，记作,若 不是单位矢量，则,求函数 z=ln(x+y) 在点(1, 2)处的梯度和在该点沿方向 l=(1,1) 的方向导数。,解,9 计算其中 D 是由直线 y=x、y=-x 和 x=2 所围成的区域。,解,解,10 计算其中 D 是圆域 在第二象限的部分。,解,11. 计算二重积分：,解,12. 证明：,解 交换积分次序,13. 计算三重积分其中,解 利用球面坐标,13. 计算三重积分其中,解 利用柱面坐标,计算复杂,with(plots):A:=implicitplot(x=4-y2,x=-5.4,y=-3.2,thickness=5,color=blue):B:=implicitplot(x=4-y2,x=-6.5,y=-4.3,thickness=2):display(A,B);,14. 计算曲线积分其中L是抛物线 上从点(-5, -3)到(0, 2)的一段弧。,解 直接计算,14. 计算曲线积分其中L是抛物线 上从点(-5, -3)到(0, 2)的一段弧。,15. 计算曲线积分其中L为抛物线,解（直接计算）,16. 计算曲面积分其中是球面 x2+y2+z2=1 的外侧。,解 利用高斯公式,高斯公式,其中 取外侧,定理1 设空间闭区域 W 由分片光滑的闭曲面围成，函数 P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 W 上具有一阶连续偏导数，则有公式,是球面 x2+y2+z2=1 的外侧。,解 利用高斯公式,错误作法：,但在上,在上,17. 判定级数的敛散性：,解,由比值审敛法，原级数收敛。,另解,由根值审敛法，原级数收敛。,18. 判定级数的敛散性（若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？）,解 先讨论其绝对值级数：,因为,而级数,发散,故绝对值级数发散。,判定级数的敛散性（若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？）,现讨论原级数的敛散性,由莱布尼茨定理，交错级数,因为,且,收敛，为条件收敛。,19. 求幂级数的收敛半径和收敛域:,收敛,定理 2,的收敛半径的求法（教材210页）,设,则,(1),(2),(3),求幂级数,的收敛域的步骤：,(1) 求幂级数的收敛半径 R，得绝对收敛区间,(2) 讨论幂级数在收敛区间的两个端点的敛散 性，得幂级数的收敛域。,19. 求幂级数的收敛半径和收敛域:,解,收敛半径：,绝对收敛区间: (-1,1),收敛,收敛半径：,当x=-1时，级数,收敛,当x=1时，级数,发散,收敛域：,绝对收敛区间: (-1,1),20. 求幂级数 的和函数s(x)并求级数 的和。,解,易知，幂级数的收敛半径 R = 1,令和函数,求导：,令和函数,求导：,21. 求微分方程的通解：,解 这是可分离变量方程,分离变量,分离变量,积分,通解：,22 .求微分方程的通解：,解 这是一阶线性微分方程,通解：,解 这是一阶线性微分方程,通解：,23. 求微分方程的通解：,解 这是二阶常系数齐次线性方程,求二阶常系数齐次线性方程的通解的步骤,(1) 写出齐次线性方程的特征方程：,(2) 求出特征方程的特征根：r1, r2,(3) 根据特征根的情况，按 304页的表写出方程的通解,特 征 根,通 解,p. 304,23. 求微分方程的通解：,解 这是二阶常系数齐次线性方程,特征方程：,特征根：,方程的通解：,24. 设有微分方程 （1）求对应齐次方程的通解； （2）求原方程的特解； （3）求原方程的通解。,解 这是二阶常系数非齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性微分方程的求解步骤,(1) 求出对应齐次线性方程 (2) 的通解：,(2) 求出原方程 (1) 的一个特解：y*,(3) 写出原方程的通解：y = Y + y*,24. 设有微分方程 （1）求对应齐次方程的通解； （2）求原方程的特解； （3）求原方程的通解。,解 这是二阶常系数非齐次线性方程,（1）先求对应齐次线性方程的通解,特征方程：,特征根：,对应齐次方程的通解：,特征方程：,特征