重庆大学高数工学下资料期末试题十二含答案资料.doc

重庆大学高等数学（工学类）课程试卷 第1页 共1页命题人: 组题人: 审题人: 命题时间: 教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学高等数学（工学类）课程试卷 20 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试时间: 120 分钟题 号一二三四五六七八九十总 分得 分考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设则 (A) (B)(C) (D)难度等级：2；知识点：偏导数答案:C.2. 曲线在对应于点处的切线方程是 (A) (B)(C) (D)难度等级：1；知识点：多元微分学的几何应用答案:B.分析:时切点为切向量所以切线方程为与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选(B).3. 物质沿曲线分布,线密度为则它的质量为 (B) (C) (D) 难度等级：2；知识点：第一类曲线积分的应用答案:C.分析: 化为定积分,被积函数为只有C符合.4. 设，与的夹角为,=， 则 ( ). (A) 126 (B) 102 (C) 103 (D) 104 难度等级：2；知识点：向量代数.答案： ( D)分析： 5. 设积分区域由和围成,则 (A) (B)(C) (D)难度等级：1；知识点：二重积分答案:(A)分析:四个选项都是先后的积分顺序,曲线求交点得为积分区域为显然(D)不符合,(C)下限小于上限不符合,(B)积分限不对,只有(A)符合.6. 设积分曲面为球面的外侧,则(A) (B) (C) (D)难度等级:2;知识点:对坐标曲面积分的计算,高斯公式答案:(B).分析: 先将的方程代入被积函数，然后使用高斯公式，故选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 极限 难度等级:2;知识点:多元函数极限 答案:4.分析:可通过分母有理化和等价无穷小的代换约去分母上的无穷小量,使分母的极限不为零.解: 8. 函数的驻点为答案:难度等级:1;知识点:多元函数极值分析:驻点处函数的偏导数等于0.解:由解得驻点:9. 设空间区域则 难度等级:2;知识点:三重积分答案:分析:10. 设向量场则旋度难度等级:1;知识点:旋度答案:=11. 设则难度等级:2;知识点:函数展开成幂级数答案: 分析: 因为幂级数的的系数为12. 设是线性微分方程 的三个线性无关的解,则微分方程的通解是 难度等级:1;知识点:二阶非齐次线性微分方程的通解答案:类似的也可. 分析:由二阶线性微分方程通解的结构定理,与是齐次微分方程的解,因此原方程的通解为 三、 计算题(每小题6分,共24分)13. 判断级数的敛散性.难度等级:2;知识点:敛散性的判别分析:对参数进行讨论.解:(1)故级数发散.(2)收敛,故级数收敛.14. 求微分方程满足初始条件的解.难度等级:2;知识点:一阶线性微分方程.分析: 方程为的贝努利方程的初值问题.解: 这是的贝努利方程,在原式两边同除以得令则方程化为这是一阶线性方程,且有其解为故原方程的解为15. 确定正数，使曲面与球面在交点处相切.难度等级：2；知识点：曲面的切平面.分析 在点处的切平面的法向量为，两曲面在相切，说明法向量平行，且在两个曲面上.解 曲面在点的法向量，球面点的法向量，二曲面在交点相切，则于是 ，而且 ，解之得到 ，16.计算其中积分路径为椭圆若从轴的正向看去,这椭圆是取逆时针方向.难度等级:3,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的计算,二重积分的性质 分析: 曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式.解: 取为平面被所围成的部分的上侧,的法线向量为其方向余弦为于是或解: 四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设求原函数难度等级2;知识点:曲线积分与路径无关的条件分析: 利用曲线积分与路径无关找原函数解: 18. 求与原点的距离为6，且在三个坐标轴上的截距之比为 的平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何.分析 平面的截距式方程为.解 设所求的平面方程为 .即 由题意有，即，.故所求的平面方程为 五、证明题(每小题6分,共12分)19. 设函数在上连续,试证难度等级:3;知识点:重积分分析: 利用连续函数一定有原函数,计算三次积分,求出结果即证证: 令则 20. 设有方程其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根并证明当时,级数收敛.难度等级:2;知识点:敛散性的判别证明: 1. 设单增故方程至多一正实根.又故方程至少一正实根.所以方程(其中为正整数)存在惟一正实根2. 故当时,级数收敛.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设薄片所占的闭区域如下, 求均匀薄片的质心:由所围成. 难度等级:2;知识点:二重积分的应用分析: 由平面薄片质心公式,分别计算即可 解: 令密度为 因为区域D可表示为所以 所求质心为22. 设有一半径为的空球,另有一半径为的变球与空球相割,如果变球的球心在空球的表面上,问等于多少时,含在空球内变球的表面积最大？并求出最大表面积的值分析:建立合适坐标系,以空球心为原点,变球心在