单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4 1单位圆与任意角的正弦函数 余弦函数的定义 都昌三中高一数学组 锐角的正弦 余弦函数的定义 对边 邻边 斜边 以原点为O圆心 以单位长度为半径的圆叫做单位圆 下面我们在直角坐标系中 利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数 余弦函数 任意角的正弦函数 余弦函数定义 1 v叫做 的正弦 记作sin 即sin v 2 u叫做 的余弦 记作cos 即cos u 如图 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P u v 那么 三角函数都是以角为自变量 以单位圆上的点的坐标 比值 为函数值的函数 角 弧度数 实数 三角函数可以看成是自变量为实数的函数 一一对应 定义域 函数 1 单位圆中任意角的正弦函数 余弦函数 v u 全体实数 全体实数 2 正弦函数 余弦函数的值在各象限的符号 方法规律 正弦上正下负 余弦右正左负 3 任意角的正弦函数 余弦函数 1 前提 设角 的顶点是坐标系的原点 始边与x轴的非负半轴重合 角 终边上任一点Q x y 2 结论 OQ的长度为且sin cos 1 判一判 正确的打 错误的打 1 sin cos 中可以将 与 sin cos 分开 2 同一个三角函数值能找到无数个角与之对应 3 角 终边上有一点P 1 1 故cos 1 解析 1 错误 符号sin cos 是一个整体 不能分开 2 正确 终边相同的角的同一三角函数值相等 3 错误 P 1 1 x 1 y 1 故cos 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知角 终边经过点则角 的最小正值是 2 角 的终边经过点P m 4 且cos 则m 3 角 满足sin 0 cos 0 则 在第 象限 解析 1 所以 的最小正值为答案 2 r 因为cos 解得m 3 舍去 m 3 答案 3 3 当sin 0时 在第一 二象限及y轴正半轴 当cos 0 cos 0时 在第二象限 答案 二 即时练 当角 0时 sin 若角 3 则sin 的符号为 填 正 或 负 解析 当角 0时 sin 0 若角 3 则角 是第三象限角 所以sin 0 答案 0负 题型示范 类型一任意角的正弦函数 余弦函数 典例1 1 2014 石家庄高一检测 已知角 与单位圆的一个交点坐标是则cos 等于 2 已知角 的终边经过点P 2 4 求角 的正 余弦函数值 自主解答 1 选D 因为所以故cos 2 因为点P 2 4 在角 的终边上 故u1 2 v1 4 可知r OP 所以sin cos 变式训练 已知角 的终边经过点P 2 3 则cos 的值是 解析 选C 角 的终边经过点P 2 3 故由三角函数的定义知故选C 考题链接 2013 西安高一检测 已知角 为第二象限的角 P a 4 为 终边上一点 且sin 则sin cos 的值为 解析 OP r 由sin 得所以a 3 又 为第二象限的角 所以a 3 所以cos 所以sin cos 类型二三角函数值的符号的应用 典例2 1 已知角 是第二象限角 则点P sin cos 在第 象限 2 确定下列各式的符号 cos200 sin160 cos 40 sin210 cos260 自主解答 1 因为角 是第二象限角 所以sin 0 cos 0 所以点P的坐标符号是 所以点P在第四象限 2 200 为第三象限的角 所以cos200 0 160 为第二象限的角 所以sin160 0 40 为第四象限的角 所以cos 40 0 所以sin160 cos 40 0 210 为第三象限的角 sin210 0 260 为第三象限的角 所以cos260 0 所以sin210 cos260 0 四 方法技巧 正弦 余弦函数值的正负规律 变式训练 确定下列各式的符号 1 sin2014 2 3 sin4 cos4 解析 1 2014 360 5 214 所以2014 为第三象限的角 所以sin2014 0 2 为第四象限的角 所以cos 0 3 4 所以4rad为第三象限的角 所以cos4 0 sin4 0 所以sin4 cos4 0 考题链接 2014 西安高一检测 sin 140 cos740 的值 A 大于0B 等于0C 小于0D 不确定 解析 选C 140 是第三象限角 所以sin 140 0 740 2 360 20 所以740 是第一象限角 所以cos740 0 所以sin 140 cos740 0 易错误区 处理三角函数问题时忽视参数的符号致误 典例 2014 泰安高一检测 已知角 的终边经过点P 3m m m 0 则sin 解析 由题意得 OP 当m 0时 OP 则sin 当m 0时 OP 则sin 答案 或 类题试解 已知角 的终边过点P 3a 4a a 0 则cos 解析 由题意可得 OP 当a 0时 OP 5a 则当a 0时 OP 5a 则答案 或 课堂总结 1 任意角三角函数的定义 2 解题方法总结 1 已知交点P的坐标