复变5套试题(1).doc

复变函数论试题库复变函数考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若收敛，则与都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点. ( ) 7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.( ) 10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ）二.填空题（20分）1、 _.（为自然数）2. _.3.函数的周期为_.4.设，则的孤立奇点有_.5.幂级数的收敛半径为_.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若，则_.8._，其中n为自然数.9. 的孤立奇点为_ .10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1. 设，求在内的罗朗展式.2. 3. 设，其中，试求4. 求复数的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.复变函数考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.( )2. cos z与sin z在复平面内有界. ( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( )6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.( )8. 若数列收敛，则与都收敛. ( )9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使且. ( )二. 填空题. (20分)1. 设，则2.设，则_.3. _.（为自然数） 4. 幂级数的收敛半径为_ .5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是的_零点.6. 函数ez的周期为_. 7. 方程在单位圆内的零点个数为_.8. 设，则的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10. .三. 计算题. (40分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4. 求 .四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z与sin z的周期均为. ( )2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列收敛，则与都收敛. ( )5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数. ( )6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f(z)在上解析,且,则. （ ）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点. ( )10. 若是的可去奇点，则. ( )二. 填空题. (20分)1. 设，则f(z)的定义域为_.2. 函数ez的周期为_.3. 若，则_.4. _.5. _.（为自然数）6. 幂级数的收敛半径为_.7. 设，则f(z)的孤立奇点有_.8. 设，则.9. 若是的极点，则.10. .三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算下列积分：，其中是. 4. 求在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）一. 判断题. (20分)1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ）2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ）3. 函数与在整个复平面内有界. （ ）4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有.（ ）5. 若存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）6. 若函数f(z)在区域D内解析且，则f(z)在D内恒为常数. （ ）7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在. （ ）8. 若，则为的n阶零点. （ ）9. 若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则. （ ）10. 若在内解析，则. （ ）二. 填空题. (20分)1. 设，则.2. 若，则_.3. 函数ez的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_.7. 设，则.8. 的孤立奇点为_.9. 若是的极点，则.10. _.三. 计算题. (40分)1. 解方程.2. 设，求3. . 4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分)1. 证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2. 证明方程在内仅有3个根.复变函数考试试题（五）一. 判断题.（20分）1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （ ）2. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数. （ ）3. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. （ ）4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ）5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ）6. 若存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）7. 若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析. （ ）8. 设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数. （ ）9. 若是的一级极点，则. （ ）10. 若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则. （ ）二. 填空题.（20分）1. 设，则.2. 当时，为实数.3. 设，则.4. 的周期为_.5. 设，则.6. .7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_。8. 函数的幂级数展开式为_.9. 的孤立奇点为_.10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三. 计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部.2. 计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3. 求积分：，其中0a1.4. 应用儒歇定理求方程，在|z|1内根的个数，在这里在上解析，并且.四. 证明题. (20分)1. 证明函数除去在外，处处不可微.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题（一）参考答案一 判断题12 610二填空题1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三计算题.1. 解 因为 所以 .2. 解 因为 ,.所以.3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内, . 所以.4. 解 令, 则 . 故 , .四. 证明题.1. 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) 若, 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.复变函数考试试题（二）参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 计算题1. 解 .2. 解 令. 则. 又因为在正实轴去正实值，所以. 所以.3. 单位圆的右半圆周为, . 所以.4. 解=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数). 令. 则. 即满足, 且连续, 故在内解析.(充分性) 令, 则 , 因为与在内解析, 所以, 且.比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”. 证明 令, 取, 当在上时, 有 . .由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.复变函数考试试题（三）参考答案一. 判断题1 6 10.二.填空题.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 解 .2. 解 . 所以收敛半径为.3. 解 令 , 则 .故原式.4. 解 令 , . 则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 内, 方程只有一个根.四. 证明题.1. 证明 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) , 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数. 复变函数考试试题（四）参考答案一. 判断题.1 6 10 .二. 填空题.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 为可去奇点 当时， 而 为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑 .而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.2. 证明 令, , 则与在全平面解析, 且在上, ,故在内.在上, , 故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.复变函数考试试题（五）参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 三