高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数.doc

高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数考点一：指数与指数幂的运算一【基础知识回顾】1.方根的定义：如果一个数的次方等于（）,那么这个数叫做 ，即如果，那么叫做的次方根.当是奇数时，的次方根表示为 ，当是偶数时，正数的次方根有 个，这时正数的正的次方根表示为 ，负的次方根表示为 ，0的 方根都是0；根式中叫做 ，叫做 .2.根式的性质： 当是奇数时，= ，当是偶数时，= ， (3)负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 .3.幂的有关概念：（1）正整数指数幂：表示 ；（2）零指数幂= ，（）；（3）负整数指数幂： （）;(4)正分数指数幂： （，且）；（5）负分数指数幂： （，且）；（6）0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂 .注意：分数指数幂不能随便约分化简，如不能写成，必须认真考查的取值才能确定.4.幂的运算法则：； ； ； 二【范例分析】例1化简：（1）= （2）= 变式:化简1. 例2化简：（1）= （2）= 例3化简：= 例4已知，求下列各式的值：（1）；（2）.考点二：指数函数及其性质一【基础知识回顾】1.指数函数的定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 .2.指数函数的图象和性质：图象性质定义域值域过定点单调性在R上是 函数在R上是 函数底数越大，图像在第一象限越靠近 轴 底数越小，图像在第二象限越靠近 轴当时， 当时， 当时， 当时， 3.指数函数和指数方程、指数不等式之间的关系： ；时 ；时 ；二【范例分析】例1：说明下列函数的图象与的图象的关系，并画出它们的示意图： 例3：比较大小： 例4：求下列函数的定义域和值域： 例5：函数（，且）的图象一定恒过定点 例6：已知，则 例7：已知对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围例8.已知函数(1) 证明：在定义域内是增函数；（2）求函数的值域。考点三：对数及其运算一【基础知识回顾】1.对数的定义：如果（且）的次幂等于N，就是 ，那么数叫做以为底N的对数，记作 ，其中叫做 ，N叫做 。2.常用对数和自然对数： 叫做常用对数，N的常用对数记作 ； 叫做自然对数，N的自然对数记作 。3.对数的运算性质：若，,则 ； ； ； 4.对数的基本性质：负数和零 对数；1的对数等于0，即 ；底数的对数等于1，即 ；对数恒等式 ；换底公式： 二【范例分析】例1:若且，,则下列各式中正确的有 ;变式训练：1.对吗？ 2.若，则 。例2：计算下列各式:例3：设，求的值。例4：若，求的值。例5设 ，则满足的的值为 。考点四：对数函数一【基础知识回顾】1.对数函数的定义：一般地，我们把函数 叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是 。注意：函数（且）与函数 互为反函数。2.对数函数（且）的图像和性质：图象性质定义域值域过定点单调性在上是 函数在上是 函数底数越大，图像在第一象限越靠近 轴 底数越小，图像在第四象限越靠近 轴当 时，当 时，当 时，当 时，二【范例分析】例1：求下列函数的定义域：(1) (2) (3)例2：，的由大到小顺序为 （2）若，则（ ）A. B. C. D.（3）若，则 （4）已知，且，求的范围。例3:求函数的单调区间和值域。例4：若函数的值域为，求实数的取值范围。变式训练：若函数的定义域为，求实数的取值范围。例5：方程的实数根有 个例6：已知函数（且）（1）求函数的定义域；（2）当为何值时，函数值大于1？考点五：幂函数一【基础知识回顾】1.幂函数的定义：一般地，函数 叫幂函数，其中为常数，是自变量。2.幂函数的性质：（1）所有的幂函数在 都有定义，并且图象都过点 ；（2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数，特别地，当时，幂函数的图象在第一象限为 型；越大，图像在第一象限越靠近 轴，当时，幂函数的图象在第一象限为 型；越大，图像在第一象限越靠近 轴（3）当时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴（4）幂函数y=x（R）的图像主要分以下几类： 当=0时，图像是过（1，1）点平行于x轴但除去（0，1）点的一条断直线。 当为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点。 当为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。 当为负偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。 当为负奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过原点。 当为正分数时，设为（m、n是互质的正整数）。如果m，n都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点；当m是偶数、n是奇数时，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限及原点；如果m为奇数、n为偶数，幂函数是非奇非偶函数，图像过第一象限及原点。 当为负分数时，设为-（m、n是互质的正整数）。如果m，n都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限；当n是偶数、m是奇数时，幂函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如果n为奇数、m为偶数，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限。二【范例分析】例1：下列函数是幂函数的是（ ）（，为非零常数，且）； A、 B、 C、 D、变式训练：在函数、y=1、y=x2+x中，幂函数的个数是 例2：比较下列两个代数式值的大小： （1），； （2），变式训练：若四个幂函数y，y，y，y在同一坐标系中的图象如下图，则a、b、c、d的大小关系是（）AdcbaBabcd Cdcab Dabdc例3：讨论函数y= 的定义域、奇偶性，作出它的图像，并根据图像说明函数的增减性。考点六：函数的零点与二分法一【基础知识回顾】1零点定义：一般地，我们把 称为函数的零点；2零点的存在性定理：一般地，若函数在 ，且 ，则称函数在区间上有零点；3二分法：对于在区间上不间断，且 0的函数，通过不断把零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点 的方法。二【范例分析】例1根据表格中的数据，可以判断方程exx20必有一个根在区间 ()x10123ex0.3712.787.3920.09x212