湖南省新高考教学教研联盟2026届高三年级12月联考（长郡二十校联盟）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省新高考教学教研联盟2026届高三年级12月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|x>2}，B={x||x−2|<3}，则A∩B=(

)A.(2,5) B.(−1,5) C.(−1,+∞) D.(2,+∞)2.2+i1−i(i为虚数单位)A.32i B.−32i 3.若角θ的终边过点P(−1,−2)，则tan(θ+π4A.−13 B.−3 C.134.(x2−x−2y)5的展开式中，A.−120 B.−60 C.40 D.805.已知向量a与a−b的夹角为2π3，|a|=1，|A.−2 B.0 C.3 D.6.晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形ABCD为矩形，AB=20m，AE，DE，BF，CF为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为6m，圆心角为π3.已知区域ABFE和DCFE是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为(

)

A.40πm2 B.80πm2 C.7.已知双曲线C1，C2有相同的渐近线，焦点分别在x轴、y轴上，离心率分别为e1，e2，则eA.4 B.23 C.3 8.若∀θ∈R，∃x∈[π3+θ,m+θ]，使得sinx≤3A.2π3 B.5π6 C.7π6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点Ai(xi,0)(1≤i≤10,i∈N)与点Bi(yi,10)(1≤i≤10,i∈N)关于点(3,5)对称，若x1，x2，⋯，x10的平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为A.平均数为3−a B.中位数为6−b C.方差为c D.极差为d10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，FA.AE⊥BD B.A1E⊥平面BB1F

C.EF//11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，曲线y=k|x−1|交C于点A(x1,y1A.y1y2=4 B.|AF|+|BF|=2|AF||BF|

C.△OAB面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知2x=12y=3，则13.在正项等比数列{an}中，若a1+a2+14.已知a>0，若∀x>0，不等式eax−1≥lnx+1a恒成立，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinB(1)求B;(2)若∠ABC的角平分线交AC边于点D，BD=2，b=26，求△ABC16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AB=4，BC=3，PA=5，∠ABC=∠BAD=90∘，E是CD的中点.若四棱锥P−ABCE(1)求四棱锥P−ABCE外接球的体积;(2)求二面角B−PE−C的余弦值．17.(本小题15分将编号为1，2，⋯，n(n≥3,n∈N∗)的小球随机放入编号为a1，a2，⋯，an的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为(1)当n=3时，求“配球”个数X的分布列和期望．(2)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=pi，P(Xi=0)=1−pi(ⅰ)求“配球”个数X的期望．(ⅱ)若bi满足：当i=1时，bi>bi+1;当i=n时，bi>bi−118.(本小题17分已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为23(1)求椭圆C的方程;(2)若直线Q1Q2的斜率不存在，求(3)求证：点O不是△Q119.(本小题17分已知函数f(x)=x+(1)若f(2m+1)−f(2m−1)>2，求证：−1<(2)若数列{an}满足an=sin(3)若等差数列{bn}的公差d=2026，前n项和为Tn，i=12026参考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.D

6.B

7.D

8.A

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.1

13.1024

14.[1,+∞)

15.解：(1)由正弦定理，sinAsinB2=sinC−sinBcosA，

因C=π−(A+B)，故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAsinB2=sinAcosB，

由于A∈(0,π)，sinA≠0，两边除以sinA得：

sinB2=cosB

利用二倍角公式cosB=1−2sin2B2，代入得：

sinB2=1−2sin2B2，

整理为关于sinB2的二次方程：

2sin2B2+sinB2−1=0，

设t=sinB2，因B∈(0,π)，故t∈(0,1)，解方程得t=1216.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB、AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB、PA⊥AD，

而∠BAD=90∘，因此AB、AD、PA两两垂直，

以点A为坐标原点，AB、AD、PA所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如下图：

因为AB=4，BC=3，PA=5，∠ABC=∠BAD=90∘，且设D0,a,0a>0，

所以A0,0,0、B4,0,0、C4,3,0、P0,0,5，而E是CD的中点，因此E2,3+a2,0．

因为四棱锥P−ABCE有外接球，所以设四棱锥P−ABCE的外接球球心为Ox,y,z，

因此四棱锥P−ABCE的外接球半径R=OA=OB=OC=OP=OE．

由OA=OBOA=OCOA=OPOA=OE得：x2+y2+z2=x−42+y2+z2x2+y2+z2=x−42+y−32+z2x2+y2+z2=x2+y2+z−52x2+y2+z2=x−217.解：(1)当n=3时，小球放入盒子的全排列数为3!=6种，

设“配球”个数为X，X的可能取值为0,1,3。

P(X=0)：无配球即bi≠i，此时的排列为(2,3,1)、(3,1,2)，所以P(X=0)=26=13．

P(X=1)：恰1个配球，即恰好一个i满足bi=i，此时排列是(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以P(X=1)=36=12．

P(X=3)：所有小球都是“配球”，即bi=i对所有i成立，此时排列仅一种(1,2,3)，所以P(X=3)=16．

X的分布列为：

期望E(X)=0×13+1×12+3×16=1．

(2)(ⅰ)对于一般的n，定义随机变量Xi，其中Xi=1如果第i个球是“配球”，即bi=i，否则Xi=0．

那么，“配球”个数X可以表示为：X=X1+X2+⋯+Xn．

因为每个球被放入任意一个盒子的概率是相等的，所以P(Xi=1)=1n，P(Xi=0)=1−1n．

所以E(X)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)，

因为E(Xi)=1×1n+0×(1−1n)=1n，所以E(X)=i=1n1n=1．

(ⅱ)定义随机变量Yi，其中Yi=1如果第i个球是“顶球”，否则Yi=0．

那么，“顶球”个数Y可以表示为：Y=Y1+Y2+⋯+Y18.解：(1)由题意得，椭圆C的离心率e=ca=12，短轴长2b=23，故b=3，

根据椭圆的基本关系a2=b2+c2，代入c=a2，得：

a2=(3)2+a22，

化简得3a24=3，解得a2=4，

因此，椭圆C的方程为：

x24+y23=1；

(2)直线Q1Q2斜率不存在，故设其方程为x=t，

由于Q1Q2是椭圆的切线，代入椭圆方程得y2=31−t24，相切时y2=0，故t=±2，取t=2，对称情况同理，

正三角形的另外两边与Q1Q2成60∘角，由夹角公式tan60∘=1|k|得斜率k=±33，

设斜率为33的切线方程为y=33x+m，相切条件m2=a2k2+b2=133，故m=±393；

同理斜率为−33的切线方程为y=−33x+n(n=±393)，

取m=−393、n=393，两条切线方程为：

l1:y=33x−393, l2:y=−33x+393

l1与x=219.解：(1)由题，f(2m+1)−f(2m−1)=(2m+1)+cos(2m+1)−(2m−1)−cos(2m−1)

=2+cos(2m+1)−cos(2m−1)=2−2sin2msin1>2，

因为sin1>0，所以sin2m<0，故2m∈(−π+2kπ,2kπ)(