正交试验设计原理与实例教程.ppt

正交试验设计 在试验研究中 对于单因素或两因素试验 因其因素少 试验的设计 实施与分析都比较简单 但在实际工作中 常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素 若进行全面试验 则试验的规模将很大 往往因试验条件的限制而难于实施 正交设计就是安排多因素试验 寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法 1正交试验设计的意义正交试验属于试验设计方法的一种 简单地讲 试验设计是研究如何科学安排试验 以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息 试验安排得好 事半功倍 反之则事倍功半 甚至达不到预期目的 因此 如何进行试验设计是一个至关重要的问题 正交试验设计是试验优化的常用技术 所谓试验优化 是指在最优化思想的指导下 进行最优设计的一种优化方法 它从不同的优良性出发 合理设计试验方案 有效控制试验干扰 科学处理试验数据 全面进行优化分析 直接实现优化目标 已成为现代优化技术的一个重要方面 正交设计的基本特点是 用部分试验来代替全面试验 通过对部分试验结果的分析 了解全面试验的情况 试验为什么要设计全面试验包含的水平组合数较多 工作量大 由于受试验场地 试验材料 经费等限制而难于实施 例如 有6个因素 每因素取5个水平 全面试验就需要56 15625个组合 若试验的主要目的是寻求最优水平组合 则可利用正交设计来安排试验 正交拉丁方在试验安排中 每个因素在研究的范围内选几个水平 就好比在选优区内打上网格 如果网上的每个点都做试验 就是全面试验 3个因素的选优区可以用一个立方体表示 图11 2 3个因素各取3个水平 把立方体划分成27个格点 反映在图11上就是立方体内的27个 若27个网格点都试验 就是全面试验 其试验方案如表11所示 3因素3水平的全面试验水平组合数为33 27 4因素3水平的全面试验水平组合数为34 81 5因素3水平的全面试验水平组合数为35 243 这在试验中是不可能做到的 正交设计就是从选优区全面试验点 水平组合 中挑选出有代表性的部分试验点 水平组合 来进行试验 图11 A中标有试验号的九个 就是利用正交表L9 34 从27个试验点中挑选出来的9个试验点 即 关于正交的直观印象 数据点分布是均匀的每一个面都有3个点每一条线都有1个点 1 3正交试验设计正交试验设计也称正交设计 orthogonaldesign 是用来科学地设计多因素试验的一种方法 它利用一套规格化的正交表 orthogonaltable 安排试验 得到的试验结果再用数理统计方法进行处理 使之得出科学结论 正交表是试验设计的基本工具 它是根据均衡分布的思想 运用组合数学理论构造的一种数学表格 均衡分布性是正交表的核心 19世纪20年代 英国统计学家R A Fisher首先后马铃薯肥料试验当中 运用排列均衡的拉丁方 解决了试验时的不均匀试验条件 获得成功 并创立了 试验设计 这一新兴学科 均衡分布 思想在20世纪50年代应用于工业领域 60年代应用于农业领域 使正交试验在科研生产实际中得到推广 2 正交表 正交表 正交拉丁方的自然推广由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表 因此 我们先对正交表作一介绍 安排的4因素3水平的试验 编上试验号 列成另外一种形式 见正交表L9 34 表11 6 可以由此得到系列正交表 orthogonaltable 常用的正交表已由数学工作者制定出来 供进行正交设计时选用 2水平正交表除L8 27 外 还有L4 23 L16 215 等 3水平正交表有L9 34 L27 213 等 详见附表17及有关参考书 表11 6是一张正交表 记号为L9 34 其中 L 代表正交表 L右下角的数字 9 表示有9行 用这张正交表安排试验包含3个处理 水平组合 括号内的底数 3 表示因素的水平数 括号内3的指数 4 表示有4列 也指安排的因素数 用这张正交表最多可以安排4个3水平因素 2 2正交表的表示符号 正交表记号所表示的含义归纳如下 Ln tq 式中 L为正交表符号 是Latin的第一个字母 n为试验次数 即正交表行数 t为因素的水平数 即1列中出现不同数字的个数 q为最多能安排的因素数 即正交表的列数 正交表表示方法 L9 34 正交表列数 一列中出现的数字个数 正交表行数 正交表的代号 正交表中1列可以安排1个因素 因此它可安排的因素数可以小于或等于q 但不能大于q 括号内的tq表示q个因素 每个因素t个水平全面试验的水平组合数 即处理数 因为安排因素个数不能大于q 所以n tq为最小部分实施 显然 L4 23 是最简单的正交表 有4列3行用它最多能安排3个2水平因素的试验 部分试验为4次 全面试验为8次 最小部分实施为1 2 即用它安排试验可比全面试验少做1 2 所以 当试验因素数q及每个因素的水平数t增加时n tq则下降 节省试验次数的效果更明显 一般非等水平正交表表示为Ln t1q1Xt2q2 q1不等于q2 Ln tlq1Xt2q2Xt3q3 q1q2q 它们各代表一个具体的数字表格 又称混合型正交表 当用非等水平正交表示为Ln t1q1Xt2q2 安排试验时 则因素数应不大于q1 q2 且t1水平的因素数不大于q1 t2水平的因素数不大于q2 最小部分实施为n t1q1 t2q2 2 3常用正交表的分类及特点1 标准表 相同水平正交表 2水平 L4 23 L8 27 L16 215 3水平 L9 34 L27 313 L81 340 4水平 L16 45 L64 421 L256 485 5水平 L25 56 L125 531 L625 5156 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表 如L4 23 L8 27 L12 211 等各列中最大数字为2 称为两水平正交表 L9 34 L27 313 等各列中最大数字为3 称为3水平正交表 凡是标准表 水平数都相等 且水平数只能取素数或素数幂 因此有7水平 9水平的标准表 没有6水平 8水平的标准表 2 3常用正交表的分类及特点2 非标准表 混合水平正交表 各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表 如L8 4 24 表中有一列最大数字为4 有4列最大数字为2 也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素 再如L16 44 23 L16 4 212 等都混合水平正交表 2 4正交表的基本性质任何一张正交表都有如下三个特性 正交性1 任一列中 不同数字出现的次数相等例如L8 27 中不同数字只有1和2 它们各出现4次 L9 34 中不同数字有1 2和3 它们各出现3次 2 任两列中 同一横行所组成的数字对出现的次数相等例如L8 27 中 1 1 1 2 2 1 2 2 各出现两次 L9 34 中 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 各出现1次 即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等 表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的 由正交表的正交性可以看出 正交表各列的地位是平等的 表中各列之间可以互相置换 称为列间置换 正交表各行之间也可相互置换 称行间置换 正交表中同一列的水平数字也可以相互置换 称水平置换 上述3种置换即正交表的3种初等置换 经过初等置换所能得到的一切正交表 称为原正交表的同构表或等价表 显然 实际应用时 可以根据不同需要进行变换 2 代表性 代表性的含义之一 在于正交表的正交性中 任一列的各水平都出现 使得部分试验中包含所有因素的所有水平 任意2列间的所有组合全部出现 使任意两因素间都是全面试验 因此 在部分试验中 所有因素的所有水平信息及两两因素间的所有组合信息都无一遗漏 这样 虽然安排的是部分试验 却能够了解全面试验的情况 从这个意义上讲可以代表全面试验 因为正交性 使部分试验点必然均衡地分布后全面试验的试验点中 所谓均衡分散 是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的 由图11 2可以看出 在立方体中 任一平面内都包含3个 任一直线上都包含1个 因此 这些点代表性强 能够较好地反映全面试验的情况 3 综合可比性 反映在正交性当中 任一列各水平出现的次数都相等 任2列间所有可能的组合出现的次数都相等 因此使任一因素各水平的试验条件相同 这就保证了在每列因素各个水平的效果中 最大限度地排除其他因素的干扰 突出本列因素的作用 从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响 这种性质称为综合可比性或整齐可比性 如在A B C3个因素中 A因素的3个水平A1 A2 A3条件下各有B C的3个不同水平 即 在这9个水平组合中 A因素各水平下包括了B C因素的3个水平 虽然搭配方式不同 但B C皆处于同等地位 当比较A因素不同水平时 B因素不同水平的效应相互抵消 C因素不同水平的效应也相互抵消 所以A因素3个水平间具有可比性 同样 B C因素3个水平间亦具有可比性 根据以上两个特性 我们用正交表安排的试验 具有均衡分散和整齐可比的特点 正交表的3个基本性质中 正交性即均衡性是核心 是基础 代表性和综合可比性是正交性的必然结果 从而使正交表得以具体应用 正交表集其3个性质于一体 成为正交试验设计的有效工具 用它来安排试验 也必然具有 均衡分散 整齐可比 的特性 代表性强 效率也高 因而 实际应用越来越广 交互作用的处理 在试验设计中 交互作一律当做因素看待 这是处理交互作用的一条总原则 3正交试验设计的基本步骤 正交试验设计 简称正交设计 的基本程序是设计试验方案和处理试验结果两大部分 主要步骤可归纳如下 第一步 明确试验目的 确定考核指标 第二步 挑因素 选水平 第三步 选择合适的正交表 第四步 进行表头设计 第五步 确定试验方案 第六步 试验结果分析 3 1明确试验目的 确定考核指标 试验目的 就是通过正交试验要想解决什么问题 考核指标 就是用来衡量或考核试验效果的质量指标 试验指标一经确定 就应当把衡量和评定指标的原则 标准 测定试验指标的方法及所用的仪器等确定下来 这本身就是一项细致而复杂的研究工作 3 2挑因素 选水平 影响指标者称为因素 因素在试验中变化的各种状态 称为水平 因素的变化引起指标的变化 正交试验法适用于试验中能人为加以控制和调节的因素 可控因素 选好的因素 水平通常可列成因素水平表 3 3选择合适的正交表 总原则 能容纳所有考察因素 又使试验号最小 一般有这样几条规则 1 先看水平数 根据水平数选用相应的水平的正交表 2 其次看试验要求 如只考察主效应 则可选择较小的表 只要所有因素均能顺序上列即可 如果还需考察交互效应 那么就要选用较大的表 而且各因素的排列不能任意上列 要按照各种能考察交互作用的表头设计来安排因素 3 3选择合适的正交表 3 再看允许做试验的正交表的次数和有无重点因素要考察 如果只允许做9次试验 而考察因素只有3 4个 则用3水平的L9 34 表来安排试验 若有重点因素要详细考察则可选用水平数不等的正交表如L8 4X24 等 将重点因素多取几个水平加以详细考察 要求精度高 可选较大的n值的L表 切不可遗漏重要因素 所以可倾向于多考察些因素 可以先用水平数少的正交表作试验 找出重要因素后 对少数重要因素再作有交互作用的细致考察 3 4进行表头设计 所谓表头设计 就是将试验因素安排到所选正交表的各列中去的过程 1 只考察主效应 不考察交互效应 正交表中每一列的位置是一样的 可以任意变换 因此 不考察交互效应的表头设计非常简单 将所有因素任意上列即可 2 考察交互作用的表头设计 各因素及各交互作用不能任意安排 必须严格按交互作用列表进行配列 这是有交互作用正交设计的重要特点 也是试验方案设计的关键一步 3 4进行表头设计 避免混杂 是表头设计的一个重要原则 也是表头设计选优的一个重要条件 所谓混杂 是指在正交表的同一列中 安排了2个或2个以上的因素或交互作用 这样 就无法确定同一列中的这些不同因素或交互作用对试验指标的作用效果 为避免混杂 使表头设计合理 更优 那些主要因素 重点考察的因素 涉及交互作用较多的因素 就应该优先安排 而另一些次要因素 涉及交互作用较少的因素和不涉及交互作用的因素 可放在后面安排 表11 10是L8 4X24 的表头设计 3 5排出试验方案 例1 鸭肉保鲜天然复合剂的筛选 虽然有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果 但是大部分有机酸和盐属于合成的化学药剂 在卫生安全上得不到保证 并且不符合消费者纯天然 无污染的要求 试验以茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分 分别添加不同的增效剂 被膜剂和不同的浸泡时间 进行了4因素和4水平的正交试验 试安排一个正交试验方案 正交设计一般有以下几个步骤 1 明确目的 确定指标 本例是一个食品加工工艺的研究试验 目的是通过试验 寻求一个最佳的鸭肉天然复合保鲜剂 2 挑因素 选水平影响试验结果的因素很多 我们不可能把所有影响因素通过一次试验都予以研究 只能根据以往的经验 挑选和确定若干对试验指标影响最大 有较大经济意义而又了解不够清楚的因素来研究 同时还应根据实际经验和专业知识 定出各因素适宜的水平 列出因素水平表 例1 的因素水平表如表11 11所示 选定了4个因素 每个因素4个水平的正交试验 3 选用合适的正交表确定了因素及其水平后 根据因素 水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表 选用正交表的原则是 既要能安排下试验的全部因素 又要使部分水平组合数 处理数 尽可能地少 一般情况下 试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数 因素的个数 包括交互作用 应不大于正交表记号中括号内的指数 各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度 以便估计试验误差 若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度 则可采用有重复正交试验来估计试验误差 本例选L16 45 最合适 有1空列 可以作为试验误差以衡量试验的可靠性 4 表头设计所谓表头设计 就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上 在不考察交互作用时 各因素可随机安排在各列上 若考察交互作用 就应按该正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用 此例不考察交互作用 可将 A B 和 C 依次安排在L16 45 的第1 2 3列上 第4列为空列 见表11 12 5 排出试验方案把正交表中安排各因素的每个列 不包含欲考察的交互作用列 中的每个数字依次换成该因素的实际水平 就得到一个正交试验方案 表11 12就是 例11 2 的正交试验方案 从而得出试验的16个处理 即 1233 2412 3434 4211 1314 2131 3113 4332 1142 2323 3341 4124 1421 2244 3222 4443 例2 要生产某种食品添加剂 根据试验发现影响添加剂收率的因素有4个 每个因素设置2种水平 表11 13 本例有4个因素 如果安排后L8 27 表中 从表11 8L8 27 表头设计可以查出 4个因素应安排在1 2 4 7列为好 这样考察4个因素各自的效应都不会与交互作用混杂 另外根据专业知识可知 D因素与A B C3因素之间没有或者少有交互作用 故将D因素安排后第七列 则3 5 6列就仅为AXB AXC和BXC单独的交互作用 本例有4个因素 如果安排后L8 27 表中 从表11 8L8 27 表头设计可以查出 4个因素应安排在1 2 4 7列为好 这样考察4个因素各自的效应都不会与交互作用混杂 另外根据专业知识可知 D因素与A B C3因素之间没有或者少有交互作用 故将D因素安排后第七列 则3 5 6列就仅为AXB AXC和BXC单独的交互作用 4正交试验的结果分析4 1直观分析法 极差分析法 凡采用正交表设计的试验 都可用正交表分析试验的结果 正交试验的结果分析 有直观分析和方差分析2种方法 现分别予以介绍 4 1 1不考虑交互作用的分析法现对 例1 进行分析 该试验的结果见表11 14 51 可编辑 分析方法 首先从16个处理中直观地找出最优处理组合为9号处理 即A1B1C4D2 指标为38 79 其次为13号处理A1B4C2D1 指标为38 02 但是究竟哪一个是最好的指标呢 现后通过直观分析进行验证 4 正交试验结果的结果分析若各号试验处理都只有一个观测值 则称之为单独观测值正交试验 若各号试验处理都有两个或两个以上观测值 则称之为有重复观测值正交试验 下面分别介绍单独观测值和有重复观测正交试验结果的方差分析 4 1 2考察交互作用的试验结果分析 考察交互作用的试验结果的分析方法与前面并无本质不同 只是 应把每个互作当成一个因素看待进行分析 应根据互作的效应 选择出最优试验组合 见表11 15 4 2 1无重复试验的方差分析这种分析方法要求用正交表设计试验时 必须留有不排入因素或互作的空例 以作为误差的估计值 例3 某食品厂或产口香糖 检验口香糖的质量好坏需要分析 拉伸率 越大越好 变形 越小越好 耐弯曲次数 越多越好 这3种指标 要求对3种指标都取得较好水平 现要进行口香糖配方的试验分析 因素水平表见表11 17 结果分析见表11 18 资料整理 本试验3个指标同等重要 我们只以拉伸率1项为例作方差分析 其余2项及综合考察留给大家作练习之用 表11 18中一共有A B C D4项因素 每一因素为4水平 每一水平的重复次数为4次 总次数为16次 n 自由度与平方和分解 该次试验的16个观测值总变异由A因素 B因素 C因素 D因素及误差变异五部分组成 因而进行方差分析时平方和与自由度的划分式为 SST SSA SSB SSC SSD SSedfT dfA dfB dfC dfD dfe 表11 18中 Ki为各因素同一水平试验指标 拉伸率 之和 如A因素第1水平K1 y1 y2 y3 y4 545 490 515 505 2055A因素第2水平K2 y5 y6 y7 y8 492 485 499 480 1956 A因素第3水平K3 y9 y10 y11 y12 566 539 511 515 2131 A因素第4水平K4 y13 y14 y15 y16 535 488 495 475 1993 B因素第1水平K1 y1 y5 y9 y13 545 492 566 535 2138 B因素第3水平K3 y3 y7 y11 y15 515 499 511 495 2020同理可求得C因素和D因素各水平试验指标之和 为各因素同一水平试验指标的平均数 如A因素第1水平 2055 4 513 75 A因素第2水平 1956 4 489 0 A因素第3水平 2131 4 532 75 A因素第4水平 1993 4 489 25 同理可求得B C因素各水平试验指标的平均数 1 计算各项平方和与自由度矫正数C T2 n 81352 15 4136139 063总平方和SST y2 C 5452 4902 4752 4136139 063 10167 9375 A因素平方和SSA a C 20552 19562 21312 19932 4 4136139 063 4403 6875 B因素平方和SSB b C 21382 20022 20202 19752 4 4136139 063 3897 1875 C因素平方和SSC T2C c C 20162 19922 20212 20782 4 4136139 063 1062 1875D因素平方和SSD T2D d C 20472 20162 20212 20512 4 4136139 063 237 6875 误差平方和SSe SST SSA SSB SSC SSD 10167 9375 4403 6875 3879 1875 1062 1875 237 6875 585 1875 总自由度dfT n 1 16 1 15A因素自由度dfA ka 1 4 1 3B因素自由度dfB kb 1 4 1 3C因素自由度dfC kc 1 4 1 3D因素自由度dfd kd 1 4 1 3误差自由度dfe dfT dfA dfB dfC dfd 15 3 3 3 3 3 2 列出方差分析表 进行F检验 F检验结果表明 四个因素对拉伸率的影响都不显著 究其原因可能是本例试验误差大且误差自由度小 仅为3 使检验的灵敏度低 从而掩盖了考察因素的显著性 由于各因素对增重影响都不显著 不必再进行各因素水平间的多重比较 此时 可直观地从表11 18中选择平均数大的水平A3 B1 C3 D4组合成最优水平组合A3B1C3D4 上述无重复正交试验结果的方差分析 其误差是由 空列 来估计的 然而 空列 并不空 实际上是被未考察的交互作用所占据 这种误差既包含试验误差 也包含交互作用 称为模型误差 若交互作用不存在 用模型误差估计试验误差是可行的 若因素间存在交互作用 则模型误差会夸大试验误差 有可能掩盖考察因素的显著性 这时 试验误差应通过重复试验值来估计 所以 进行正交试验最好能有二次以上的重复 正交试验的重复 可采用完全随机或随机单位组设计 多重比较 从本试验的方差分析 相对来说A因素和B因素为重要因素 C因素和D因素为次要因素 对A B两因素进行多重比较表11 20至表11 22 用LSR法 当dfe 3时 多重比较的结果以A3和B1为最好 另外A3和B1也可考虑 作为分析其他指标后综合平衡选择之用 从拉伸率这一指标来讲 最优组合为 A 胶基添加量21 B 葡萄糖浆添加量17 C D因素不论 4 2 2有重复观测值正交试验结果的方差有重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析 除误差平方和 自由度的计算有所不同外 其余各项计算基本相同 例4 有一水稻3因素试验 A因素为品种 4水平 B因素为栽插密度 2水平 C因素为施肥量 2水平 选用L8 4X24 其表头设计和产量结果 小区面积30m2 见表11 23 用n表示试验 处理 号数 r表示试验处理的重复数 a b c ka kb kc的意义同上 对于有重复 且重复采用随机单位组设计的正交试验 总变异可以划分为处理间 单位组间和误差变异三部分 而处理间变异可进一步划分为A因素 B因素 C因素与模型误差变异四部分 此时 平方和与自由度划分式为 SST SSt SSr SSe2dfT dft dfr dfe2而SSt SSA SSB SSC SSe1dft dfA dfB dfC dfe1于是SST SSA SSB SSC SSr SSe1 SSe2dfT dfA dfB dfC dfr dfe1 dfe2 式中 SSr为单位组间平方和 SSe1为模型误差平方和 SSe2为试验误差平方和 SSt为处理间平方和 dfr dfe1 dfe2 dft为相应自由度 注意 对于重复采用完全随机设计的正交试验 在平方和与自由度划分式中无SSr dfr项 1 计算各项平方和与自由度矫正数C T2 rn 4962 3 8 10250 67 总平方和SST x2 C 172 162 262 10250 67 451 33单位组间平方和SSr T2r n C 1692 1652 1622 8 10250 67 3 08 处理间平方和SSt T2t r C 522 592 822 3 10250 67 406 67A因素平方和SSA T2A ar C 1112 1382 932 1542 2 3 10250 67 371 0 B因素平方和SSB T2B br C 2452 2512 4 3 10250 67 1 50C因素平方和SSC T2C cr C 2342 2622 4 3 10250 67 32 66 模型误差平方和SSe1 SSt SSA SSB SSC 406 67 371 00 0 32 67 3 00试验误差平方和SSe2 SST SSr SSt 451 33 3 08 405 16 41 58 总自由度dfT rn 1 3 8 1 23单位组自由度dfr r 1 3 1 2处理自由度dft n 1 8 1 7A因素自由度dfA ka 1 4 1 3B因素自由度dfB kb 1 2 1 1C因素自由度dfC kc 1 2 1 1 模型误差自由度dfe1 dft dfA dfB dfC 7 3 1 1 2试验误差自由度dfe2 dfT dft dfr 23 7 2 14 2 列出方差分析表 进行F检验 首先检验MSe1与MSe2差异的显著性 若经F检验不显著 则可将其平方和与自由度分别合并 计算出合并的误差均方 进行F检验与多重比较 以提高分析的精度 若F检验显著 说明存在交互作用 二者不能合并 此时只能以MSe2进行F检验与多重比较 本例MSe1 MSe2 1 MSe1与MSe2差异不显著 故将误差平方和与自由度分别合并计算出合并的误差均方MSe 即MSe SSe1 SSe2 dfe1 dfe2 3 00 41 58 2 14 2 78625并用合并的误差均方MSe进行F检验与多重比较 F检验结果表明 A C因素对水稻产量有显著影响 B因素作用不显著 4 A因素各水平平均数的多重比较表11 25A因素各水平平均数多重比较表 SSR法 单位 在实际研究中 有时试验因素之间存在交互作用 对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设计 除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外 其它基本相同 例5 某一种抗菌素的发酵培养基由A B C3种成分组成 各有两个水平 除考察A B C三个因素的主效因外 还考察A与B B与C的交互作用 试安排一个正交试验方案并进行结果分析 一 选用正交表 作表头设计由于本试验有3个两水平的因素和两个交互作用需要考察 各项自由度之和为 3 2 1 2 2 1 2 1 5 因此可选用L8 27 来安排试验方案 正交表L8 27 中有基本列和交互列之分 基本列就是各因素所占的列 交互列则为两因素交互作用所占的列 可利用L8 27 二列间交互作用列表 见表12 30 来安排各因素和交互作用 如果将A因素放在第1列 B因素放在第2列 查表可知 第1列与第2列的交互作用列是第3列 于是将A与B的交互作用A B放在第3列 这样第3列不能再安排其它因素 以免出现 混杂 然后将C放在第4列 查表可知 B C应放在第6列 余下列为空列 如此可得表头设计 见表12 31 二 列出试验方案根据