剪力图和弯矩图教程

剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标 以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标 分别绘制表示FQ x 和M x 的图线 这种图线分别称为剪力图和弯矩图 简称FQ图和M图 正弯矩画在x轴下侧 负弯矩画在x轴上侧 即把弯矩画在梁受拉的一侧 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧 负号的剪力画在x轴的下侧 例题1图所示 悬臂梁受集中力F作用 试作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 列剪力方程和弯矩方程 0 x l 0 x l 2 作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知 一 根据内力方程作内力图 剪力方程 表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系 弯矩方程 表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系 例题2简支梁受均布荷载作用 如图示 作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力由对称关系 可得 最大剪力发生在梁端 其值为 2 列剪力方程和弯矩方程 3 作剪应力图和弯矩图 最大弯矩发生在跨中 它的数值为Mmax 例题3简支梁受集中作用如图示 作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力 2 列剪力方程和弯矩方程 0 x a 0 x a AC段 CB段 a x l 0 x l 3 作剪力图和弯矩图 例题4简支梁受集中力偶作用 如图示 试画梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力 2 列剪应力方程和弯矩方程 AB段 0 x l CB段 a x l AC段 0 x a 3 绘出剪力图和弯矩图 在均布荷载作用段 FQ图是斜直线 倾斜方向与荷载指向相同 2 无荷载作用区段 即q x 0 FQ图为平行x轴的直线 3 在集中力作用处 FQ图有突变 突变方向与外力一致 且突变的数值等于该集中力的大小 4 在集中力偶作用处 其左右截面的剪力FQ图是连续无变化 2 弯矩图与荷载的关系 在均布荷载作用的区段 M图为抛物线 二 根据内力图规律做图 剪力图与荷载的关系 3 在集中力作用处 M图发生转折 如果集中力向下 则M图向下转折 反之 则向上转折 4 在集中力偶作用处 M图产生突变 顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下 反之 由下向上 突变的数值等于该集中力偶矩的大小 1 任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力 2 当FQ图为斜直线时 对应梁段的M图为二次抛物线 当FQ图为平行于x轴的直线时 M图为斜直线 3 弯矩图与剪力图的关系 3 剪力等于零的截面上弯矩具有极值 反之 弯矩具有极值的截面上 剪力不 一定等于零 左右剪力有不同正 负号的截面 弯矩也具有极值 解 1 求约束反力 例题 简支梁如图所示 试用荷载集度 剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图 2 画FQ图 各控制点处的FQ值如下 FQA右 FQC左 15kNFQC右 FQD 15kN 10kN 5kNFQD 5kNFQB左 15kN 3 画M图 MA 0 MC 15kN 2m 30kN mMD 15kN 4m 10kN 2m 40kN mMD右 15kN 4m 5kN 4m 2m 20kN mMB 0 例题6一外伸梁如图示 试用荷载集度 剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ M图 解 1 求约束力 2 画内力图 1 剪力图 ACB段 FQA右 FQC FQB左 5kN FQ图为一水平直线 BD段 FQ图为右下斜直线 FQB右 FQB左 13 8kNFQD 0 2 弯矩图 AC段 FQ 0 故M图为一右上斜直线 MA 0 MC左 5kN 2m 10kN m CB段 FQ 0 故M图为一右上斜直线 在C处弯矩有突变 MC右 5kN 2m 12kN mMB 4kN m 2m 1m 8kN m BD段 段内有向下均布荷载 M图为下凸抛物线 MB 8KN m MD 0 例7外伸梁如图所示 试画出该梁的内力图 解 1 求梁的支座反力由 解得 由 解得 2 画内力图 CA段 q 0 剪力图为水平直线 弯矩图为斜值线 AD段 q 0 剪力图为水平直线 弯矩图为斜值线 DB段 q 0 剪力图为斜直线 弯矩图为抛物线 令 根据QB 5kNQC 3kN QA 7kN QA 3kN QD 7kN的对应值便可作出图 b 所示的剪力图 可见 在AD段剪力最大 根据MC 0 MA 1 8k