2017年高考数学试题分类汇编：数列含详解.doc

第 1 页 共 31 页 2010 年高考数学试题分类汇编 数列 含详解 2010 上海文数 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第一个小题满分 6 分 第 2 个小题满分 8 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且585 nn Sna nN 1 证明 1 n a 是等比数列 2 求数列 n S的通项公式 并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n 解析 1 当n 1 时 a1 14 当n 2 时 an Sn Sn 1 5an 5an 1 1 所以 1 5 1 1 6 nn aa 又a1 1 15 0 所以数列 an 1 是等比数列 2 由 1 知 1 5 115 6 n n a 得 1 5 1 15 6 n n a 从而 1 5 7590 6 n n Sn n N 由Sn 1 Sn 得 1 52 65 n 5 6 2 log114 9 25 n 最小正整数n 15 2010 湖南文数 20 本小题满分 13 分 给出下面的数表序列 其中表 n n 1 2 3 有 n 行 第 1 行的 n 个数是 1 3 5 2n 1 从第 2 行起 每行 中的每个数都等于它肩上的两数之和 I 写出表 4 验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 并将结论推 第 2 页 共 31 页 广到表 n n 3 不要求证明 II 每个数列中最后一行都只有一个数 它们构成数列 1 4 12 记此数列为 n b 求和 324 1 22 31 n nn bbb bbb bb b 第 3 页 共 31 页 2010 全国卷 2 理数 18 本小题满分 12 分 已知数列 n a的前n项和 2 3n n Snn A 求lim n n n a S 证明 12 222 3 12 n n aaa n 命题意图 本试题主要考查数列基本公式 1 1 1 2 n nn s n a ssn 的运用 数列极限和数 列不等式的证明 考查考生运用所学知识解决问题的能力 参考答案 第 4 页 共 31 页 点评 2010 年高考数学全国 I 这两套试卷都将数列题前置 一改往年的将数列结合不 等式放缩法问题作为押轴题的命题模式 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识 基 本方法基本技能 重视两纲的导向作用 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用 心 估计以后的高考 对数列的考查主要涉及数列的基本公式 基本性质 递推数列 数列求 和 数列极限 简单的数列不等式证明等 这种考查方式还要持续 第 5 页 共 31 页 2010 陕西文数 16 本小题满分 12 分 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前n项和Sn 解 由题设知公差d 0 由a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项an 1 n 1 1 n 由 知2 m a 2n 由等比数列前 n 项和公式得 Sm 2 22 23 2n 2 1 2 1 2 n 2n 1 2 2010 全国卷 2 文数 18 本小题满分 12 分 已知 n a是各项均为正数的等比数列 且 12 12 11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 求 n a的通项公式 设 2 1 nn n ba a 求数列 n b的前n项和 n T 解析 本题考查了数列通项 前n项和及方程与方程组的基础知识 1 设出公比根据条件列出关于 1 a 与d的方程求得 1 a 与d 可求得数列的通项公式 2 由 1 中求得数列通项公式 可求出 BN 的通项公式 由其通项公式化可知其和可 分成两个等比数列分别求和即可求得 2010 江西理数 22 本小题满分 14 分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b c 使得 222 abc 成等差数列 2 存在无穷多个互不相似的三角形 n 其边长 nnn abc 为正整数且 第 6 页 共 31 页 222 nnn abc 成等差数列 解析 作为压轴题 考查数学综合分析问题的能力以及创新能力 1 考虑到结构要证 222 2acb 类似勾股数进行拼凑 证明 考虑到结构特征 取特值 222 1 5 7满足等差数列 只需取 b 5a c 7a 对一切正 整数 a 均能成立 结合第一问的特征 将等差数列分解 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三 角形 再证明互不相似 且无穷 证明 当 222 nnn abc 成等差数列 则 2222 nnnn bacb 分解得 nnnnnnnn babacbcb 选取关于 n 的一个多项式 2 4 1 n n 做两种途径的分解 222 4 1 22 22 22 22 n nnnnnnn 2 4 1 n n 对比目标式 构造 2 2 2 21 1 4 21 n n n ann bnn cnn 由第一问结论得 等差数列成立 考察三角形边长关系 可构成三角形的三边 下证互不相似 任取正整数 m n 若 m n 相似 则三边对应成比例 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn 由比例的性质得 11 11 mm mn nn 与约定不同的值矛盾 故互不相似 2010 安徽文数 21 本小题满分 13 分 设 12 n C CC 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在x轴的正半轴上 且都与直线 3 3 yx 相切 对每一个正整数n 圆 n C都与圆 1n C 相 互外切 以 n r表示 n C的半径 已知 n r为递增数列 证明 n r为等比数列 第 7 页 共 31 页 设 1 1r 求数列 n n r 的前n项和 命题意图 本题考查等比列的基本知识 利用错位相减法求和等基本方法 考察抽象概 括能力以及推理论证能力 解题指导 1 求直线倾斜角的正弦 设 n C的圆心为 0 n 得2 nn r 同理得 11 2 nn r 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系 得两圆半径之间的关系 即 n r中 1n r 与 n r的关系 证明 n r为等比数列 2 利用 1 的结论求 n r的通项公式 代入 数列 n n r 然后用错位相减法求和 n nnnn n n 1n 1n 1nnn 1n 1nn n 1n n n 11 n nn n n 12 331 sin 332 r1 2r 2 2rrr2r2r r3r rq3 n r1q3r3n 3 r 12 rr x C 解 1 将直线y 的倾斜角记为 则有t an 设的圆心为 0 则由题意得知 得 同理 从而 将代入 解得 故为公比的等比数列 由于 故 从而 记S 121 n 121 n 121 n 1 1 r 12 33 3 3 1 32 3 1 3 3 3 1 33 3 3 3 1 333 3 3 2 22 3 9139 23 3 3 4224 n n nn nn n nn n n n n n nn n nn n Sn 则有 S S 得 2S 方法技巧 对于数列与几何图形相结合的问题 通常利用几何知识 并结合图形 得出 关于数列相邻项 n a与 1n a 之间的关系 然后根据这个递推关系 结合所求内容变形 得出 第 8 页 共 31 页 通项公式或其他所求结论 对于数列求和问题 若数列的通项公式由等差与等比数列的积构 成的数列时 通常是利用前 n 项和 n S乘以公比 然后错位相减解决 2010 重庆文数 16 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 已知 n a是首项为 19 公差为 2 的等差数列 n S为 n a的前n项和 求通项 n a及 n S 设 nn ba 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列 n b的通项公式及其前 n项和 n T 2010 浙江文数 19 本题满分 14 分 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等 差数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 56 S S 15 0 若 5 S 5 求 6 S及 a1 求 d 的取值范围 第 9 页 共 31 页 2010 重庆理数 21 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 在数列 n a中 1 a 1 1 1 21 n nn acacnnN 其中实数0c I 求 n a的通项公式 II 若对一切 kN 有 21kzk aa 求 c 的取值范围 第 10 页 共 31 页 第 11 页 共 31 页 2010 山东文数 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前 n 项和为 n S 求 n a 及 n S 令 2 1 1 n n b a nN 求数列 n b的前 n 项和 n T 第 12 页 共 31 页 2010 北京文数 16 本小题共 13 分 已知 n a为等差数列 且 3 6a 6 0a 求 n a的通项公式 若等差数列 n b满足 1 8b 2123 baaa 求 n b的前 n 项和公式 解 设等差数列 n a的公差d 因为 36 6 0aa 所以 1 1 26 50 ad ad 解得 1 10 2ad 所以10 1 2212 n ann 设等比数列 n b的公比为q 因为 2123 24 8baaab 所以824q 即q 3 所以 n b的前n项和公式为 1 1 4 1 3 1 n n n bq S q 第 13 页 共 31 页 2010 北京理数 20 本小题共 13 分 已知集合 121 0 1 1 2 2 nn SX Xx xxxin n 对于 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 定义 A 与 B 的差为 1122 nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 i d A Bab 证明 nn A B CSABS 有 且 d AC BCd A B 证明 n A B CSd A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 设 P n S P 中有 m m 2 个元素 记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d P 证明 d P 2 1 mn m 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 证明 I 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S 因为 i a 0 1 i b 所以 0 1 ii ab 1 2 in 从而 1122 nnn ABabababS 又 1 n iiii i d AC BCacbc 由题意知 i a i b i c 0 1 1 2 in 当0 i c 时 iiiiii a cbcab 当1 i c 时 1 1 iiiiiiii a cbcabab 所以 1 n ii i d AC BCabd A B II 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S d A Bk d A Cl d B Ch 第 14 页 共 31 页 记 0 0 0 n OS 由 I 可知 d A Bd AA BAd O BAk d A Cd AA CAd O CAl d B Cd BA CAh 所以 1 2 ii bain 中 1 的个数为k 1 2 ii cain 的 1 的 个数为l 设t是使 1 iiii baca 成立的i的个数 则2hlkt 由此可知 k l h三个数不可能都是奇数 即 d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 III 2 1 A B P m d Pd A B C 其中 A B P d A B 表示P中所有两个元素间距离的总和 设P种所有元素的第i个位置的数字中共有 i t个 1 i mt 个 0 则 A B P d A B 1 n ii i t mt 由于 i t i mt 2 1 2 4 m in 所以 A B P d A B 2 4 nm 从而 2 22 1 42 1 A B P mm nmmn d Pd A B CCm 2010 四川理数 21 本小题满分 12 分 已知数列 an 满足a1 0 a2 2 且对任意m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 求a3 a5 第 15 页 共 31 页 设bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前n项和Sn 本小题主要考查数列的基础知识和化归 分类整合等数学思想 以及推理论证 分析与解 决问题的能力 解 1 由题意 零m 2 n 1 可得a3 2a2 a1 2 6 再令m 3 n 1 可得a5 2a3 a1 8 20 2 分 2 当n N 时 由已知 以n 2 代替m 可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即 bn 1 bn 8 所以 bn 是公差为 8 的等差数列 5 分 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为b1 a3 a1 6 公差为 8 的等差数列 则bn 8n 2 即a2n 1 a2n 1 8n 2 另由已知 令m 1 可得 an 211 2 n aa n 1 2 那么an 1 an 2121 2 nn aa 2n 1 82 2 n 2n 1 2n 于是cn 2nqn 1 当q 1 时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘以q 可得 第 16 页 共 31 页 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2n qn 上述两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2nqn 2 1 1 n q q 2nqn 2 1 1 1 1 nn nqnq q 所以Sn 2 1 2 1 1 1 nn nqnq q 综上所述 Sn 1 2 1 1 1 1 2 1 1 nn n nq nqnq q q A 12 分 2010 天津文数 22 本小题满分 14 分 在数列 n a中 1 a 0 且对任意 k N 2k 12k2k 1 a a a 成等差数列 其公差为 2k 证明 456 a a a成等比数列 求数列 n a的通项公式 记 222 23 23 n n n T aaa A A A 证明 n 3 2nT2 n 2 2 解析 本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式 等比数列的定义 数列求和等 基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想 方法 满分 14 分 I 证明 由题设可知 21 22aa 32 24aa 43 48aa 54 412aa 65 618aa 第 17 页 共 31 页 从而 65 54 3 2 aa aa 所以 4 a 5 a 6 a成等比数列 II 解 由题设可得 2121 4 kk aak kN 所以 2112121212331 kkkkk aaaaaaaa 441 4 1kk 21 k kkN 由 1 0a 得 21 21 k ak k 从而 2 221 22 kk aakk 所以数列 n a的通项公式为 2 2 1 2 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 或写为 2 11 24 n n n a nN III 证明 由 II 可知 21 21 k ak k 2 2 2 k ak 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若1m 则 2 2 22 n k k k n a 若2m 则 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn 所以 2 2 31 2 2 n k k k n an 从而 2 2 3 22 4 6 8 2 n k k k nn a 2 当 n 为奇数时 设 21 nmmN 第 18 页 共 31 页 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an 从而 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 和 2 可知 对任意2 nnN 有 3 22 2 n nT 2010 天津理数 22 本小题满分 14 分 在数列 n a中 1 0a 且对任意 kN 21k a 2k a 21k a 成等差数列 其公差为 k d 若 k d 2k 证明 2k a 21k a 22k a 成等比数列 kN 若对任意 kN 2k a 21k a 22k a 成等比数列 其公比为 k q 解析 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式 前 n 项和公式 等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类 讨论的思想方法 满分 14 分 证明 由题设 可得 4 2121 aak kN kk 所以 131 2121212123 aaaaaaaa kkkkk 44 1 4 1kk 2k k 1 由 1 a 0 得 22 2 1 22 2 1 2122122 ak kaakkak kkkk 从而 于是 11 21222221 221212 aaaa kk kkkk akakaa kkkk 所以 所以 2 22122 k dkkNaaa kkk 时 对任意成等比数列 证法一 i 证明 由 2 2121 k aaa kk 成等差数列 及 第 19 页 共 31 页 22122 aaa kkk 成等比数列 得 21211 2 2 22121 221 k aa kk aaaq kkk aaq kkk 当 1 q 1 时 可知 k q 1 k N 从而 11111 1 1 2 11 1 1111 21 1 k qqqq kkkk qk 即 所以 1 1qk 是等差数列 公差为 1 证明 1 0a 2 2a 可得 3 4a 从而 1 4 2 2 q 1 1 1 q 1 由 有 11 11 1 k k kkqkN qk k 得 所以 2 2 22211221 2122 aaa kkkkk kN aakak kkk 从而 因此 222 2 2 222 1 2 22214 22 2 1 2212 1 2 1 22242 k aaa kk kkk aak aak kkN kk aaakkk kk 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若 m 1 则 2 2 22 n k k k n a 若 m 2 则 2222 1 2 2111 221 2 21 4 2 nmmm kkkk kkk kkkk aaak 第 20 页 共 31 页 22 111 111 4414411 11 222 2 1 2 1 2 1 21 1131 22 1 1 2 22 mmm kkk kkkk mm k kk kk kkk mmn mn 所以 22 22 313 2 22 4 6 8 22 nn kk kk kk nnn ana 从而 2 当 n 为奇数时 设 n 2m 1 mN 2 222 2 22 21 21 31 21 4 222 1 nm kk kkm kkmm m aaamm m 1131 42 22 1 21 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an 从而 2 2 3 22 3 5 7 2 n k k k nn a 综合 1 2 可知 对任意2n nN 有 2 2 3 22 2 n k k k n a 证法二 i 证明 由题设 可得 212222 1 kkkkkkkk daaq aaaq 2 12221222 1 kkkkkkkkkk daaq aq aa q q 所以 1kkk dq d 232211 1 2 222222 1 111 kkkkkk k kkkkkkk aadddq q aaq aq aq 由 1 1q 可知1 k qkN 可得 1 111 1 1111 k kkkk q qqqq 所以 1 1 k q 是等差数列 公差为 1 ii 证明 因为 12 0 2 aa 所以 121 2daa 所以 321 4aad 从而 3 1 2 2 a q a 1 1 1 1q 于是 由 i 可知所以 1 1 k q 是 公差为 1 的等差数列 由等差数列的通项公式可得 1 1 k q 11kk 故 1 k k q k 第 21 页 共 31 页 从而 1 1 k k k dk q dk 所以 12 1121 12 121 kkk kk ddddkk k ddddkk 由 1 2d 可得 2 k dk 于是 由 i 可知 2 212 21 2 kk ak kakkN 以下同证法一 2010 全国卷 1 理数 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知数列 n a中 11 1 1 n n aac a 设 51 22 n n cb a 求数列 n b的通项公式 求使不等式 1 3 nn aa 成立的c的取值范围 第 22 页 共 31 页 2010 四川文数 20 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a的前 3 项和为 6 前 8 项和为 4 求数列 n a的通项公式 设 1 4 0 n nn ba qqnN 求数列 n b的前 n 项和 n S 2010 山东理数 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前n项和为 n S 求 n a及 n S 第 23 页 共 31 页 令bn 2 1 1 n a n N 求数列 n b的前n项和 n T 解析 设等差数列 n a的公差为 d 因为 3 7a 57 26aa 所以有 1 1 27 21026 ad ad 解得 1 3 2ad 所以321 2n 1 n an n S n n 1 3n 2 2 2 n 2n 由 知2n 1 n a 所以bn 2 1 1 n a 2 1 2n 1 1 11 4 n n 1 111 4n n 1 所以 n T 111111 1 4223n n 1 11 1 4n 1 n 4 n 1 即数列 n b的前n项和 n T n 4 n 1 命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用 裂项法求数列的和 熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键 2010 湖南理数 21 本小题满分 13 分 数列 n anN 中 是函数 3222 11 3 3 32 nnn fxxanxn a x 的 极小值点 当 a 0 时 求通项 n a 是否存在 a 使数列 n a是等比数列 若存在 求 a 的取值范围 若不存在 请说明理由 第