广东高考数学二轮复习专题四立体几何专题强化练十二立体几何中的向量方法理.docx

专题强化练十二 立体几何中的向量方法一、选择题1在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值是()A.B.C.D.解析：如图，建立空间直角坐标系，易求点D(，1)，平面AA1C1C的一个法向量是n(1，0，0)，所以cosn，则sin .答案：D2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则()的最大值为()A. B1 C. D.解析：由正方体性质知0，则().建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，1，0)，C(0，1，0)设点E(x，y，0)，则(x，y1，0)，(1，1，0)所以(x，y1，0)(1，1，0)xy1.易知当E位于点B时，xy有最大值2.因此的最大值为211.答案：B3(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以(1，0，)，(1，1，)则cos，.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.答案：C4(2018济南质检)在三棱锥PABC中，点P在底面的正投影恰好是等边ABC的边AB的中点，点P到底面ABC的距离等于底面边长设平面PAC与底面所成的二面角的大小为，平面PBC与底面所成的二面角的大小为，则tan()的值是()A. B. C D解析：如图，设点P在边AB上的射影为H，作HFBC，HEAC，连接PF，PE.依题意，HEP，PFH.不妨设等边ABC的边长为2，则PH2，AHBH1.所以HE，HF，则tan tan ，故tan().答案：C二、填空题5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，A1C1B1D1E，直线AC与直线DE所成的角为，直线DE与平面BCC1B1所成的角为，则cos()_解析：AC平面BB1D1DACDE，所以.取A1D1的中点F，连EF，FD，易知EF平面ADD1A1，则EDF，所以cos()cossin EDF.答案：6.如图，在四棱锥CABOD中，CO平面ABOD，ABOD，OBOD，且AB2OD4，AD2，异面直线CD与AB所成角为30，若点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为_解析：因为CD与AB所成角为30，且ABOD，所以CDO30，由OD2，知OCODtan 30.在直角梯形ABOD中，OB2.因此(2R)2OB2OD2OC2.故球的表面积S4R2.答案：三、解答题7如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求二面角CBED的余弦值的大小解：设ADDE2AB2a，以AC，AB所在的直线分别为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)因为F为CD的中点，所以F.(1)证明：，(a，a，a)，(2a，0，a)，所以()，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)设平面BCE的一个法向量为m(x，y，z)，则即不妨令x1可得m(1，2)设平面BDE的一个法向量n(x，y，z)，则即令x可得n(，1，0)于是，cosm，n.故二面角CBED的余弦值为.8.(2018浙江卷)如图所示，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：AB1平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值(1)证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，0)，B(1，0，0)，A1(0，4)，B1(1，0，2)，C1(0，1)因此(1，2)，(1，2)，(0，2，3.)由0得AB1A1B1.由0得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)解：设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由(1)可知(0，2，1)，(1，0)，(0，0，2)设平面ABB的法向量n(x，y，z)，由即取n(，1，0)所以sin |cos，n|.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.9.如图，在三棱锥PABC中，PA，AB，AC两两垂直，PAABAC，平面平面PAB，且与棱PC，AC，BC分别交于P1，A1，B1三点(1)过A作直线l，使得lBC，lP1A1，请写出作法并加以证明；(2)若将三棱锥PABC分成体积之比为819的两部分(其中，四面体P1A1B1C的体积更小)，D为线段B1C的中点，求直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值解：(1)作法：取BC的中点H，连接AH，则直线AH即为要求作的直线l.证明如下：因为PAAB，PAAC，且ABACA，所以PA平面ABC.因为平面平面PAB，且平面PACP1A1，平面PAB平面PACPA，所以P1A1PA，所以P1A1平面ABC，所以P1A1AH.又ABAC，H为BC的中点，则AHBC，从而直线AH即为要求作的直线l.(2)因为将三棱锥PABC分成体积之比为819的两部分，所以四面体P1A1B1C的体积与三棱锥PABC的体积之比为827，又平面平面PAB，所以.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB3，则A1(0，1，0)，B1(2，1，0)，P(0，0，3)，P1(0，1，2)，D(1，2，0)，(2，0，0)，(0，1，3)，(1，1，2)，设平面PA1B1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(0，3，1)则cos，n.故直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值为.10(2018郑州调研)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O.如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQOB.(1)证明：OD平面PAQ；(2)若BE2AE，求二面角CBQA的余弦值(1)证明：由题设知OA，OB，OO1两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0)因为点P为BC中点，所以P，所以(3，0，6)，(0，m，0)，(6，m，3)，因为0，0.所以，且与不共线，所以OD平面PAQ.(2)解：因为BE2AE，A