分类讨论思想在解题中的应用.doc

分类讨论思想在解题中的应用主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤确定讨论对象和确定研究的区域；对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；归纳总结，整合得出结论4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等5. 分类讨论思想的类型问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；问题中的条件是分类给出的；解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的二、典例剖析例1、（2007上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数是（）A1B2C3D4解析：由（2，1），（3，k），得（1，k1），由于为直角三角形，则，都可能为直角，由向量数量积为0，分别有或或，解得或答案：B点评：本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的例2、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）ABCD解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或1的等差数列有个，公差为2或2的等差数列有个，所以满足条件中的概率为答案：B点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数例3、（2007陕西）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值分析：圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，所求椭圆方程为（2）设，当轴时，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当|AB|最大时，面积取最大值点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因例4、（2007海南、宁夏）设函数（1）若当x=1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于分析：函数的极值、单调性是函数的重要性质极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题解：（1），依题意有，故从而的定义域为当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调递增，在区间单调递减（2）的定义域为，方程的判别式（i）若，即，在的定义域内，故无极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而在的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为f(x)的极值之和为：点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程在的定义域内有解；二是在方程的根的两边导数的符号要相反因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论例5、设函数的图象是曲线，曲线与关于直线对称将曲线向右平移1个单位得到曲线，已知曲线是函数的图象（1）求函数的解析式；（2）设求数列的前项和，并求最小的正实数，使对任意都成立解：（1）由题意知，曲线向左平移1个单位得到曲线，曲线是函数的图象曲线与曲线关于直线对称，曲线是函数的反函数的图象的反函数为（2）由题设：，由得，当当时，当时，对一切，恒成立当时，记，则当大于比大的正整数时，也就证明当时，存在正整数，使得.也就是说当时，不可能对一切都成立.t的最小值为2.例6、（2007天津）在数列中，其中0求数列的前项和分析：数列的通项公式和前项和的求解，是高考中考查的一个重点内容，对于它们的解决要掌握一些方法解：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和点评：本题考查数列的通项公式和前项和对于等比数列的前项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论例7、已知函数f（x）=axlnx，其中a为实常数，设e为自然对数的底数.（1）若f（x）在区间（0，e上的最大值为3，求a的值；（2）当a=1时，试推断方程| f（x）|=是否有实数解.解：（1）=a，x(0，e)，若a，则0，从而f(x)在(0，e)上增函数.f(x)max =f(e)=ae10.不合题意.若a0a0，即0x由f(x)0a0，即xe.f(x)max=f()=1ln().令1ln()=3，则ln()=2.=e2，即a=e2. e2，a=e2为所求.（2）当a=1时，f(x)=xlnx，=1=.当0x0；当x1时，0.f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，）上减函数.从而f(x)max=f(1)=1.f(x)=xlnx1，从而lnxx1.令g(x)=|f(x)|=xlnx=x(1)lnx当0x0.当x2时，g(x)=1()lnx(1)=.g(x)在2，上增函数，g(x)g(2)=综合、知，当x0时，g(x)0，即|f(x)|.故原方程没有实解.例8、已知函数（1）当a=2时，求使f（x）x成立的x的集合；（2）求函数yf (x)在区间1，2上的最小值.解：（1）由题意，当时，由，解得或；当时，由，解得综上，所求解集为(2)设此最小值为m当时，在区间1，2上，因为，则是区间1，2上的增函数，所以当时，在区间1，2上，由知当时，在区间1，2上，若，在区间（1，2）上，则是区间1，2上的增函数，所以若，则当时，则是区间1，上的增函数，当时，则是区间，2上的减函数，因此当时，或当时，故，当时，故综上所述，所求函数的最小值例9、设函数f(x)=x2xa1，xR.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值解：(1)当a=0时，函数f(x)=(x)2x1=f(x)，此时f(x)为偶函数当a0时，f(a)=a21，f(a)=a22a1.f(a)f(a)，f(a)f(a)此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数（2）当xa时，函数f(x)=x2xa1=(x)2a若a，则函数f(x)在(，a上单调递减从而函数f(x)在（，a上的最小值为f(a)=a21若a，则函数f(x)在（，a上的最小值为f()=a，且f()f(a)当xa时，函数f(x)=x2xa1=(x)2a若a，则函数f(x)在a，上的最小值为f()=a，且f()f(a)；若a，则函数f(x)在a，)单调递增从而函数f(x)在a，上的最小值为f(a)=a21.综上，当a时，函数f(x)的最小值为a；当a时，函数f(x)的最小值是a21；当a时，函数f(x)的最小值是a冲刺练习一、选择题1. 若，且，则实数p值范围是（）A. B. C. D. 2. 函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D. 3圆的切线方程中有一个是（）Axy0Bxy0Cx0 Dy04曲线与曲线的（）A焦距相等 B离心率相等C焦点相同 D准线相同5已知其中aR，则a的取值范围是（）Aa0 Ba2且a2C2a2Da2或a26四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A150种B147种C144种D141种7设集合选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）ABCD8函数的图象大致是（）9已知平面区域D由以、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则（）A. 2B.1C. 1D. 410关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3提示二、填空题11. 已知线段AB在平面外，A、B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面的距离为_.12. 已知集合A=xx23x2=0,B=xx2ax(a1)=0，C=xx2mx2=0，且AB=A，AC=C，则a的值为，m的取值范围为_13（2005湖北卷）的展开式中整理后的常数项为_.14若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为_.15已知函数,则的值域是_.16不等式的解集为_。 答案三、解答题17.答案18答案19已知函数f（x）=（a，b为常数）且方程f（x）x12=0有两个实数根为x1=3，x2=4（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式f（x）答案20已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn1;（2）是否存在自然数c和k，使得成立.提示：1、由题意可知或解之得：p42、由题意可得或，解之得：m1时方程有2个不等的根；（2）当0t1时方程有4个根；（3）当t=1时，方程有3个根故当t=0时，代入方程，解得k=0此时方程有两个不等根t=0或t=1，故此时原方程有5个根；当方程有两个不等正根时，即，此时方程有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程有两个相等正根t，相应的原方程的解有4个；故选B11 1或2122或33或（2，2）13 14或a=11516、若，则解集为， 若，则解集为提示：11、分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.12、A=1，2，B=x(x1)(x1a)=0，由AB=A可得1a=1或1a=2；由AC=C，可知C=1或.13、，其中k满足0k5.kN，的通项公式为，其中0r5k，rN，令52rk=0，得k2r=5，解得k=1，r=2；k=3，r=1；k=5，r=0当k=1，r=2时，得展开式中项为;当k=3，r=1时，得展开式中项为;当k=5，r=0时得展开式中项为，综上的展开式中整理后的常数项为14、即f(x)=(a1)x2ax=0有解当a1=0时，满足当a10时，只需=a2(a1)015、即等价于.16、若，则解集为， 若，则解集为设.解之得.对a分类：17解：，综上所述，得原不等式的解集为；时，.18 解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线；（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；（i）当k4时，方程表示双曲线；（ii）当4k6时，方程表示椭圆；（iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6k8时，方程表示双曲线19解：（1）将x1=3，x2=4分别代入x12=0得f（x）=x（x2）（2）不等式f（x），即x，即0（x2）（x1）（xk）0当1k2时，解集为（1，k）（2，）；当k=2时，不等式为（x2)2（x1）0解集为（1，2）（2，）；当k2时，解集为（1，2）（k，）20解：（1）由Sn=4(1），得，(nN*)（2）要使，只要因为所以，(kN*)故只要Sk2cSk，（kN*）因为Sk1Sk，(kN*)所以Sk2S12=1又Sk4，故要使成立，c只能取2或3当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，cSk不成立，从而不成立当k2时，因为，由SkSk1(kN*)得Sk2Sk12故当k2时，Sk2c，从而不成立当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，cSk不成立，从而不成立因为，又Sk2Sk12所以当k3时，Sk2c，从而成立综上所述，不存在自然数c，k，使成立袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃