周五讨论班美式期权的定价方法.docx

美式期权的定价方法 殷玉芳 2011.12.0921.1 介绍考虑一个实际问题，如何确定美式期权的价格。通过变量代换引用参数，那么对于美式看跌、看涨和支付红利的两值期权问题如下：对于看跌： (21.1)对于看涨: (21.2)对于收益为的两值期权（现金或无值看涨期权），当 (21.3) (21.4)其中为无量纲两值收益。我们将上述期权定价问题转化为更为严谨的线性互补问题。 (21.5)下面给出转化后的收益限制函数。看跌： 看涨： 两值期权： 初始条件和边界条件变为 连续 （21.6）这种方法可以推广到更为一般的收益函数。线性互补公式的优势是没有明确提到自由边界，若能够解决线性问题，那我们就可以找到自由边界，定义为自由边界。对于看跌期权来说， 但, 当对于其他有许多自由边界问题，线性互补公式也是有效的。21.2 有限差分公式为了寻求解决美式看跌自由边界问题的数值方法，之前，我们运用许多不同的方法，一种简单的方法将区域分割成规则的有限网格，并且通过线性互补方程来进行有限差分近似，这是这一章所运用的唯一方法。首先将线性互补格式进行离散化，将在规则网格一步长进行有限差分近似，则，其中，其中为很大的数。 为了避免显式、隐式和Crank-Nicolson离散格式，我们利用一般的有限差分-近似 其中，当时分别对应着显示格式，Crank-Nicolson格式和隐式格式。记 （21.7）为离散化的收益函数。上一章，对于有限差分方法，记为精确解的有限差分近似解。条件意味着当 （21.8）边界条件和初始条件变为 (21.9)则有限差分近似为 由于从而 其中若当，且稳定。定义 （21.10）从而 （21.11）注意到，在时间时，精确被知，由于已知，则线性互补条件则近似为 （21.12）21.3 有限差分问题解 有限差分近似（21.8）-（21.12）可看作为一个约束矩阵问题，这和障碍问题的有限差分近似（20.3）类似，同样采取投影SOR方法来解决这一问题。 定义为在时刻的近似值向量，为同一时刻的限制向量。 （21.13） 其中中不包含，这是由于边界条件已经精确给出。令 （21.14）从而 其中 （21.15）在和，即为边界条件在和时 （21.16）下给出一个阶的三对角对称矩阵 (21.17)从而线性互补问题转化为矩阵形式 (21.18)同样地，用投影SOR方法来解决离散化的线性互补问题，这是一个隐式格式：向量包含在时刻的信息，并决定在时刻的值。对于给定，可以得到，在任一时刻，我们可以计算，因此利用投影SOR能够解决（21.18）这一问题，为了实施投影SOR算法，我们注意到，矩阵(对称正定矩阵)的非零元：对角元素，上、下对角元素.从到迭代的算法是障碍问题的投影SOR算法的一个简单修改。特别地，1. 给定，由公式（21.14）(21.15) (21.16)算出向量，通过（21.7）和（21.13）式，计算出限制向量。2. 定义为迭代向量，然后，为初始值，通过投影SOR算法，由生成，我们知道当,(,若不然，可能不收敛)。3. 由分量 (注：式子中而不是) ，从而由得到，其中,为给定的相关参数。4