高三数学一轮复习教案全套人教A版直接证明与间接证明.doc

高三 一轮复习 6.6直接证明与间接证明【教学目标】1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2.了解反证法的思考过程和特点.【重点难点】 1.教学重点 了解分析法、综合法及反证法的思考过程2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二考纲传真 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2.了解反证法的思考过程和特点.真题再现;1.(2014山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0没有实根B.方程x3axb0至多有一个实根C.方程x3axb0至多有两个实根D.方程x3axb0恰好有两个实根解析至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”.答案A2.(2012福建，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解(1)选择式，计算如下sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2 cos2.3(2013江苏卷)已知ab0，求证2a3b32ab2a2b.证明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.知识梳理知识点1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法思维特点由因导果(顺推证法)执果索因(逆推证法)实施流程书写格式“因为所以”“由得”等“要证”“只需证明”“即证”等知识点2间接证明1反证法的定义；假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法2利用反证法证题的步骤；(1)反设假设所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与假设矛盾，与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)1必会结论；反证法证明中，常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或qp且q至多有n个至少有n1个p且qp或q2.必知联系；分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用考点分项突破考点一综合法1.(2015安徽高考)设nN*，xn是曲线yx2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标(1)求数列xn的通项公式；(2)记Tnxxx，证明Tn.【解】(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1,2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1)令y0，解得切线与x轴交点的横坐标xn1，所以数列xn的通项公式xn.(2)证明由题设和(1)中的计算结果知，Tnxxx222.当n1时，T1.当n2时，因为x2，所以Tn2.综上可得，对任意的nN*，均有Tn.跟踪训练 1.(2015北京高考)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点【解】(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f(1)0，f()0，求证a2.【证明】要证a2，只需证2a.a0，故只需证22，即a244a2222，从而只需证2，只需证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立跟踪训练 1.ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证.【证明】要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立归纳分析法证题的技巧1逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证考点三 反证法(1)一个命题的结论是“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，用反证法证明该命题时，正确的假设是()A假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数B假设a，b，c都是偶数C假设a，b，c至少有两个偶数D假设a，b，c都是奇数(2)等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.求数列an的通项an与前n项和Sn；设bn(nN*)，求证数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解析】(1)“恰有一个”的否定是“一个也没有”或“至少有2个”，因此正确的假设是“假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选A.【答案】A(2)由已知得d2，故an2n1，Snn(n)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0，p，q，rN*，2pr，即(pr)20.pr，与pr矛盾假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列跟踪训练 1.设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列【解】(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列归纳反证法的适用范围及证题的关键1适用范围当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证2关键在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知