[经济学]第四章 综合指标

统计学,主讲教师：董志芸,统,学,教,程,计,邢台学院会计学系编制,主 讲 教 师：董志芸,综合指标,教 学 目 的,综合指标法是统计研究的基本方法之一。从广义上说，所有的统计指标都可以称为综合指标。但这里讲的综合指标是将所有的统计指标按其指标数值的表现形式不同归纳起来的三大类基本指标，它们是：总量指标、相对指标和平均指标。通过本章的学习要求了解三类基本指标的概念、特点，掌握各类指标的计算方法，并能结合实际资料进行计算分析。,第四章 综合指标,一、综合指标概述二、总量指标（绝对数指标）三、相对数指标（相对数）四、平均数指标（平均数）五、标志变异指标,主要内容,统计数据分布的特征，可主要从以下三个方面进行描述：一.绝对数与相对数，反映现象总体的广度及发展变化的趋势；二.集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；三.离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势。绝对数、相对数和平均数均为综合指标表现形式。,一、总量指标的概念和作用,1、概念： 总量指标是反映一定时间、地点和条件下某种现象总体规模或水平的统计指标。它的表现形式是绝对数。如一个国家的人口数、土地数、面积、某年的国民生产总值、原煤产量等都是总量指标。,第一节 总量指标,2、作用,是编制计划、实行经营管理的重要依据。,是对社会经济现象认识的起点。,是计算相对指标和平均指标的基础。,3、总量指标的计量单位,计量单位,自然单位：头、辆、人,双重单位：台/千瓦、人/平方公里,复合单位：吨公里、千瓦小时,实物单位,货币单位,劳动量单位,度量衡单位：米、公斤、吨,标准实物单位,1、按总量指标的总体内容不同分： 总体总量：指总体单位总数。 标志总量：指总体单位某一数量标志值的总和。,二、总量指标的分类,一个总量指标究竟属于总体单位总量还是总体标志总量，并不是固定不变的，它随着研究目的的不同和研究对象的变化而定。,如：研究某地区的工业企业职工工资情况，“职工人数”为总体总量，“工资总额”为标志总量。,2、按总量指标所反映的时间不同分：,时期指标反映社会经济现象总体在一段时期内发展过程的总量。 时点指标表明社会经济现象总体在某一时点的总量。 如：总产值、销售量为时期数；年末人口数、设备台数为时点数。时期指标和时点指标各有不同特点：,时期指标的特点1.不同的时期指标数值具有可加性；2.时期指标数值大小与时期长短有直接关系；3.时期指标数值是连续登记、累计的结果。,时点指标的特点1.不同时点的指标数值不具有可加性。2.时点指标的数值的大小与其时间间隔长短无关。3.时点指标的数值是间断计数的。,通过下表：1、区分总体单位总量与总体标志总量； 2、区分时期指标与时点指标。,总体标志总量,时点指标,时期指标,总体单位总量,1、正确确定指标含义、计算范围、指标界限。2、同类总量指标才能相加。3、使用统一计量单位。4、把总量指标与相对指标和平均指标结合起来使用。,三、计算和运用总量指标应注意的问题,一、相对指标概述1.相对指标的概念： 说明现象之间数量对比关系的指标，用两个有联系的指标数值对比形成的一种比率，用以反映现象的发展程度、结构强度、普遍程度或比例关系，其结果表现为相对数，故也将相对指标称为相对数。,第二节 相对指标,2.相对指标的数值表现形式： 无名数:是一种抽象化的数值，大多以系数、倍数、成数、翻番数、百分点、百分数或千分数表示。 有名数:主要用来表现强度相对指标的数值。它同时使用分子和分母指标数值的计量单位，以表明事物的密度、强度和普遍程度。,总量指标虽然是反映现象总体规模或水平的重要指标。但它有时不易反映现象内部结构的数量特征和事物发展的程度。（1）能综合表明有关现象之间数量联系的程度、强度、速度、 比例关系、总体结构，弥补总量指标的不足，对现象进行更深入地分析和说明。,例：中国进出口商品总额,单位：亿元,3.相对指标的作用,（2）为原来不能直接对比的总量指标提供共同的比较基础。 如：1998年甲、乙两企业利税总额分别为1000万元和800万元。直接依据这两个数字的大小判断好像甲企业好。,这些指标深刻地反映了从1980年到1997年17年间，中国出口商品结构有了根本改善，已经从主要出口初级产品转为工业制成品。,事实上，甲企业资本金为1亿元，乙企业5000万元，则资本利税率甲为10%，乙为16%。所以，不仅要看产出，还要考虑企业的投入。,（一）、结构相对指标 1概念： 是表明总体内部的各个组成部分在总体中所占比例的相对指标。,种类,计划完成相对指标,比例相对指标,结构相对指标,比较相对指标,强度相对指标,动态相对指标,计算方法,二、相对指标的种类及计算,3、特点： 各部分所占比重之和为100%或1； 分子与分母位置不能互换； 必须与统计分组相结合； 分子的数值是分母数值的一部分。,（一）结构相对指标,2、计算公式：,例如：对市场上销售的冷饮产品的质量进行抽查，抽查 结果为，合格品的数量占全部抽查产品数量的85%。,例某企业有职工1000人，其中男职工700人，女职工300人，结构相对数如下：男职工占全部职工的比重（）700100070女职工占全体职工的比重（）300100030,例 1996年我国工业总产值构成,1.可以说明在一定的时间、地点和条件下总体结构的特征。 2. 不同时期的结构相对数的变化，可以反映实物性质的发展趋势，分析经济结构的演变规律。 3. 根据各构成部分所占比重的大小以及是否合理，可以反映所研究现象总体的质量以及人、财、物的利用情况。 4.利用结构相对数，有助于分清主次，确定工作重点。,结构相对指标有如下作用：,1、概念：是反映总体内部各个组成部分之间的数量对比关系的相对指标。常用于分析总体范围内各个局部、各个分组之间的比例和协调平衡状况。是同一总体某一部分数值与另一部分数值对比的比值。,3、计算公式：,（二）比例相对指标,2、作用：反映总体各部分间的内在联系与比例关系。（同一总体不同部分比较）,4、特点：,(1).对比的分子分母属于同一总体（与结构相对数 一致）。 (2).分子分母可以互换。,(3).比例相对数的数值，一般用百分数或几比几的形式表示。(4).若把分母扩大为总体本身，就成了结构相对数，可见结构相对数是比例相对数的特例。另外，可用连比的形式同时讨论若干部分之间的比例关系。,52年： 58：27：1581年： 31：35：3489年： 23：38：39, 例我国的农业、轻工业、重工业之间的比例关系：, 例我国第四次人口普查结果表明，1990年7月1日零时，我国男性人数为584949922人，女性人数为548732579人，则男性对女性的比例是106.6。,1、概念：同一时期的同类现象在不同地区、部门、单位之间的对比，用来表明同类事物在不同条件下的数量对比关系。,（三）比较相对指标,3、计算公式：,2、作用：反映同类现象在不同空间的数量差异，发现先进与后进。,两个类型相同的工业企业，甲企业全员劳动生产率为18542元人.年，乙企业全员劳动生产率为21560元人.年，则两个企业全员劳动生产率的比较相对数为：,4、特点： 1.分子分母的数值分别属于不同的总体。2.分子分母是同类指标。3.用百分数或倍数表示，分子和分母可以互换。若以数值小的为母项则计算结果大于100%或1，反之小于100%或1。,例,185422156086,1、概念：强度相对数是两个性质不同而有联系的总量指标对比的结果。用来表明某一现象发展中的强度、密度和普遍程度。两个性质不同而又相互联系指标之比。,2、计算公式：,（四）强度相对指标,（3）反映现象的经济效益 如：,（1）反映现象的强弱程度 如：,（2）反映现象的密度 如：,3、作用：,例我国土地面积为960万平方公里，1996年底人口总数为122389万人，则我国1996年末人口密度122389960127（人平方公里）,4、特点 （1）计量单位常用复合单位，它是由分子指标和分母指标的计量单位组成，如人均国民生产总值用“元/人”；人口密度用“人/平方公里”来表示。有的相对指标数值用系数、倍数、次数、百分数或平均数来表示。,（2）有些指标分子与分母可互换。 （3）有的强度相对数有正指标和逆指标之分，数值大小与强度成正比为正指标，反 之为逆指标。,有少数反映社会服务行业的负担情况或保证程度的强度相对指标，其分子分母可以互换，即采用正算法计算正指标，采用倒算法计算逆指标。,商业网密度（正指标）,商业网密度（逆指标）,例某市人口数为158000人，有零售商店790个，则该市零售商业网点密度是：正指标（零售商业网点数人口数） 7901585（个千人）逆指标 （人口数零售商业网点数） 158000790200人个,如：,1、概念：动态相对数是将某一社会经济现象总体不同时期的同一类指标对比而计算出的数值，用于表明现象在时间上发展变动的方向和程度。又称发展速度或指数。,（五）动态相对指标,3、计算公式：,2、作用：反映事物发展变化的方向与程度。,其中：报告期又称计算期，是研究或计算时期。基期是作为比较基础的时期。,例1996年我国国民生产总值为67559.7亿元，1995年为57494.9亿元，如果选1995年作基期，则1996年的国民生产总值与1995年对比，得出动态相对数为117.5，说明在1995年的基础上1996年国民生产总值的发展速度。,（1）分子分母的数值是同类但不同时期的。（2）分子与分母的位置一般不能互换。常用百分数、倍数、千分数表示。（3）报告期是指计算的那一期，基期可以是报告期的前一期、历史上最好的时期或某一特定时期。,4、动态相对数的特点：,例题：想一想可以计算哪几种相对指标？,单位：万人,又知我国国土面积为960万平方公里。,结构相对指标,比例相对指标,比较相对指标,强度相对指标,动态相对指标,1、概念：简称完成程度指标、计划完成百分比，用来检查、监督计划执行情况，它以现象在某一时间的实际完成数与计划任务完成数对比，借以观察计划完成程度。,（六）计划完成相对指标,计划完成程度相对指标的分子是计划执行结构的实际数值，分母则是下达的计划任务指标值。因此，要求分子、分母在指标含义、计算方法、计量单位以及时间长度等方面完全相应；同时，由于计划任务数是作为衡量计划完成情况的标准，分子、分母不允许互换，因此一般用百分数表示。,基本计算公式：,超额完成（或未完成）绝对数=实际完成数计划数,例： 某企业1995年产品产量计划达到1500吨，实际为2000吨。,计划完成程度相对指标=,超额完成（或未完成）绝对数=2000-1500 =500吨,（1）计划数为绝对数 计划完成相对数（实际完成数同期计划数）100,短期计划检查方法,检查短期计 划完成情况,检查某一时期的计划完成情况： 月度、季度、年度,检查计划执行的进度： 计划期内某一段时间的实际完成数与 计划全期的计划数进行对比。,2、检查累计至二月份的产量计划完成情况。,1、检查各月产量计划完成情况。,（计算结果见上表）,某企业生产某种产品产量计划完成情况如下：单位（吨）,例 题,适用于当计划任务是用计划提高的百分数或计划降低的百分数规定的时候。如劳动生产率计划提高百分数、产品的成本降低率、流通费用降低率。,（2）计划数为相对数,实际完成程度（%）公式：计划完成程度（%） = 计划规定的完成程度（%）,其中： 实际完成程度（%）= ,本期实际完成数,上期实际完成数,计划规定的完成程度（%） = ,本期计划任务数,上期实际完成数,本期实际完成数,本期计划任务数,本期实际完成数,上期实际完成数,本期计划任务数,上期实际完成数,本期实际完成数,上期实际完成数,本期计划任务数,上期实际完成数,实际完成程度（%）,计划规定的完成程度（%）,（1）产量、产值增长百分数（增长计划）：,（2）产品成本降低百分数（降低计划）：,具体表示如下：,例1 某公司2000年计划销售某种产品30万件，实际销售32万件，则该公司2000年销售计划完成1067，超额67完成计划。,例2某企业某种产品的产值计划要求增长10，该种产品的单位成本计划要求下降5，而实际产值增长了15，实际单位成本下降了3，则计划完成程度指标为：产值计划完成相对数115110104.55单位成本计划完成相对数（1003）（1005）102.11,1.产值计划完成程度若大于100，说明超额完成计划；若小于100，说明没有完成计划，为正指标。 2.单位成本计划完成程度若大于100，说明成本比计划高，没有完成计划；若小于100，说明成本比计划降低，超额完成计划，为逆指标。,例3某企业要求劳动生产率达到5000元人，某种产品的计划单位成本为100元，该企业实际的劳动生产率达到6000元人，某种产品的实际单位成本为80元，它们的计划完成程度指标如下：劳动生产率计划完成相对数60005000120（正指标）单位成本计划完成相对数8010080（逆指标）,分析：,解：,例题：假定某企业按计划规定，产品单位成本应在上一年的水平上降低4%，实际降低了 3%，问降低产品成本的计划任务的完成程度是多少？,即：差1.04%没有完成成本降低计划任务。,例题：假定某企业按计划规定，劳动生产率应在基期的水平上提高 3%，实际执行结果提高了 4%，问提高劳动生产率计划任务的完成程度是多少？,解：,即：超额0.97%完成提高劳动生产率的计划任务。,计划完成相对数（实际平均水平计划平均水平）100 适用于计划任务用平均数来表示的情形，例如：劳动生产力、单位产品成本、单位产品原材料消耗量等。,（3）计划数为平均数,（1）水平法：若计划指标是按整个计划期的末年应达到的水平来规定的，用水平法。将计划末期实际完成数与同期计划规定数之比公式为：,依据计划任务数的规定不同，长期计划的完成情况又有水平法和累计法两种检查法。,长期计划（通常是五年）检查方法,若计划指标是按整个计划期内累计完成量来规定的，宜用累计法计算。计划期内各年累计实际完成数与同期计划规定的累计数之比。,提前完成计划时间=（计划期月数实际完成月数）+（超额完成计划数/平均每日计划数）,公式为：,（2）累计法：,例某种产品按五年计划规定，最后一年产量应达450万吨，计划执行情况如下：,解： 1.五年计划完成程度 （120+120+130+130）450111.11 2.因为从第四年的第二季度起至第五年的第一季度止累计产量已达450万吨（100+110+120+120450），所以提前三个季度完成五年计划。,要求： 1.计算该产品五年计划完成程度； 2.计算提前完成五年计划的时间,分析：该题是考核五年计划的完成情况，由于五年计划指标是按整个计划的末年应达到的水平规定的，所以要用水平法 。按水平法考核五年计划完成程度，只要在连续一年内（不论是否在同一个日历年度内）实际完成数达到了计划规定的末年水平就算完成计划，往后所余的时间就是提前完成计划的时间。,例题2：假定某产品按五年计划规定,最末一年产量应达到 50万吨,实际产量如下表，检查长期计划完成情况。,13.5+12.5+12.5+13 = 51.5(万吨),从第四年的第二季度起到第五年的一季度止,实际产量已达到计划规定的50万吨, 即12+12.5+13+13.5 = 51(万吨)，所以提前 9 个月完成了任务。即：(60个月 51个月 = 9 个月),提前完成任务的时间：,长期计划完成程度：,解:计划末期实际产量:,检查是否有连续一年的产量达到计划规定的水平？,六种相对数指标的比较,不同时期比 较,动 态相对数,强 度相对数,不同现象比较,不同总体比较,比 较相对数,同一总体中,部分与部分比 较,部分与总体比 较,实际与计划比 较,比 例相对数,结 构相对数,计划完成相对数,同一时期比较,同类现象比较,三.正确运用相对指标的原则则,（一）注意统计可比性原则；（二）定性分析与数量分析相结合的原则；（三）相对指标和总量指标结合运用的原则；（四）各种相对指标综合运用的原则。（五）正确选择对比的基数；,用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的代表性水平指标，其数值表现为平均数。,它是同质总体某一标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，是总体的代表值，它描述分布数列的集中趋势。,一、平均指标的概念及特点,集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向。描述集中趋势即寻找数据一般水平的代表值或中心值平均指标（平均数）。,第二节 集中趋势的描述（平均数）,二、平均指标的作用,1、可以比较同类现象在不同单位、地区间的平均水平。2、可以比较同类现象在不同时期的平均水平。3、可用于研究事物之间的依存关系。4、利用平均数还可以进行推算和预测。,三、种类,利用上式计算算术平均数时，标志总量和总体单位数必须同属于一个总体。分子与分母之间存在的内在经济联系。即分子是分母所具有的标志值。,（一）.算术平均数基本计算公式总体标志总量总体单位数,四、平均指标的计算,强度相对指标和平均指标的区别：某企业工人平均工资1200元/月；某城市每万人拥有的零售商业网点数为10个/万人,1、简单算术平均数,例1某班组有8名工人，每个工人日产量分别为17、19、20、22、23、24、25、26件，则平均每人日产量为（17+19+20+22+23+24+25+26）822（件）,2、加权算术平均数 统计资料经过分组，编制变量数列后要采用加权算术平均法计算平均数。即将各组变量值乘以相应的次数，然后加总求和，再乘以总次数。其计算公式为：,1.其中x代表总体中各单位变量值；f 代表权数，即变量值出现的次数。2.在组距数列中，要用各组的组中值来代替各组的变量值。,用“比重”权数计算算术平均数的公式为：,计算公式：,采用的权数可以是具体的总体单位数，也可以是百分数。在同一数列中，不论用绝对数加权或用相对数加权，计算结果完全相同。,（1）根据单项数列计算,例1、某车间20名工人加工某种零件资料,例2：某企业工人按日产量分组资料如下：,要求：根据资料计算工人的平均日产量。,解:按第一个公式计算,按第二个公式计算:,两个班组工人生产资料如下：根据资料分别计算两个班组工人的平均日产量。,一班工人平均日产量,二班工人平均日产量,计算得到：,= 21.9(件),= 23.5(件),权数在平均数形成中起的作用,（2）根据组距数列计算,工人月平均奖金额=0.135+0.145+0.355+0.365+0.175+0.185=3.5+4.5+16.5+19.5+7.5+8.5=60 （元） 此结果与用（Xf f ）计算结果一致。,3、简单算术平均数与加权算术平均数的关系,权数起作用必须有两个条件：,一是：各组标志值必须有差异。如果各组标志值没有差异 标志值成为常数，也就不存在权数了。,二是：各组的次数或比重必须有差异。如果各组次数或比 重没有差异，意味着各组权数相等，权数成为常数， 则不能起到权衡轻重的作用，这时加权算术平均数 就等于简单算术平均数。,用公式表示二者的关系：,当：,计算加权算术平均数时，必须慎重选择权数，一定要使各组的标志值或组中值和权数的乘积等于各组的标志总量，并具有实际经济意义。 在分配数列条件下，一般来说，次数就是权数。但也有次数是不合适的权数，这在以相对数或平均数的资料求平均数时经常遇到。,使用加权法计算平均数注意事项：,例某公司所属20个企业的产值计划完成情况如下：,如果按企业数的权数求平均产值计划完成程度：xn n19.9 2099.5 （1）如果按计划产值为权数求平均产值计划完成程度：xf f1670 1600104.4 （2）,两个答案（2）是正确的。因为在（1）中产值计划完成程度x与企业数n的乘积不能形成标志总量，不具有实际意义。而产值计划完成程度x与计划产值f的乘积能形成标志总量（实际产值）具有实际意义。,例：某市所属15个企业产值计划完成情况的组距分配数列资料如下：,相对数不能简单相加，绝对数可以。,又例：,平均完成率=,？,（二）调和平均数,1、调和平均数的概念及计算方法调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。,（1）简单调和平均数,（2）加权调和平均数,加权调和平均数作为加权算术平均数的变形使用，仍然依据算术平均数的基本公式计算。,2.简单调和平均数,应用条件：资料未分组，各个变量值次数都是1。举例:一个人步行两里，走第一里时速度为每小时候10里，走第二里时为每小时20里，则平均速度为：,计算公式:,3.加权调和平均数,计算公式：,应用条件：资料经过分组，各组次数不同。 例1：,某局所属的三个企业的资料：,已知,已知,例3,某车间各班组工人劳动生产率资料:,已知,已知,例4,4.调和平均数的适用范围,由相对数或平均数计算平均数时，所掌握的权数是相对数或平均数的子项资料时，应采用调和平均数计算。推而想知，所掌握的权数是相对数的母项资料时，应采用算术平均数计算。,例：,某商厦下属三个销售组某年的商品销售资料如表：,计算三个组的平均流通费用率，应该用各组流通费用总和除以销售额总和，即：,例：,这里采用的是加权算术平均法，销售额起着权数作用。若上例缺少销售额资料，而具有流通费用资料，如下表所示：,该式采用的是加权调和平均法，流通费用起着权数作用。,根据上表计算平均批发价格时，无法直接采用加权算术平均法，而应用调和平均法，即： 平均价格成交额成交量 m( mx) 3690048000 0.769（元）,例：,已知,已知,（三）几何平均数,几何平均数是N个变量值乘积的N次方根。它是适用于特殊数据的一种平均数，主要用于计算比率或速度的平均。,1. 集中趋势的测度值之一2. N 个变量值乘积的 N 次方根3. 适用于特殊的数据4. 主要用于计算平均发展速度5. 计算公式为：,6. 可看作是均值的一种变形,解： 由于全厂产品合格率为各车间的平均合格率的连乘积，所以G=,例某企业生产某种产品要经过三个连续作业车间才能完成。若某月份第一车间粗加工产品的合格率为95，第二车间精加工产品的合格率为93，第三车间最后装配的合格率为90，则该产品的企业合格率（三个车间的平均合格率）为多少？,解：由已知数据可知，各年与前一年相比的比值(即发展速度)分别为109、116、120，则平均发展速度为：,几何平均数在实际应用中有很多限制，如被平均的变量值中有一个为零，变量为负值开偶次根，均不能用几何平均数。,例 某水泥厂1997年的水泥产量为100万吨，1998年与1997年相比增长率为9，1999年与1998年相比增长率为16，2000年与1999年相比增长率为20。求各年的年平均增长率。,【例】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率103.84%-1=3.84%,（四）众数,集中趋势的测度值之一出现次数最多的变量值不受极端值的影响可能没有众数或有几个众数,众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用 表示。,众数的不唯一性,无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42,(一）、 由单项式变量数列确定众数单项式数列确定众数只需找出次数最多的标志值即为众数,某 车 间 工 人 日 产 情 况,根据变量数列的不同种类，确定众数可采用不同的方法。,下限公式：,上限公式：,首先确定次数最多的组，即众数组，然后，用下列公式计算。,式中：L众数组的下限；U众数组的上限；l众数组的次数与前一组次数之差；2众数组的次数与后一组次数之差；d众数组的组距。,（二）、由组距数列计算,例某市1993年城市住户收入抽样调查资料,下限公式：,中位数是将总体各单位的标志值按大小顺序排列，处于中间位置的那个标志值。它把全部标志值分成两部分，一半标志值比它小，一半标志值比它大。,中位数是位置平均数，它不受极端值的影响，在具有个别极大或极小标志值的分布数列中，中位数比算术平均数更具有代表性；在缺乏计量手段时，也可用中位数近似地代替算术平均数。,(五)中位数,（1）由未分组资料计算中位数按公式确定中位数位次：中位数位次（n+1）2n为标志值项数，若n为奇数，则对应于中位数位次的值即为中位数。,中位数的计算一般分两步，1.先确定中点位次 2.找出中点位次对应的标志值,如五个工人的日产量(件)依次排列为10、11、12、13、14 排于第3位的工人产量为中位数，中位数为12件。,设有六个工人的日产量(件)依次排列为10、11、12，13、14、15、则：,中位数位次（n+1）26+123.5,中点位次为3.5，说明中位数的位置在第3位与第4位的取相邻两个变量值的简单算术平均为中位数，即：,若n为偶数，中位数就是位次为n2，n/2+1标志值得平均数,中位数位次公式： 中位数位次f2（累计次数半值）然后找出中位数组，也即已含累计次数位值的组。该组的值就是中位数。,例10：某生产车间120名工人生产某种零件的日产量分组如下表所示，计算该车间工人日产量的中位数。,（2）由分组资料计算中位数:,由分组资料的单项数列求中位数,中位数位次f21202=60，累计次数分布中含f2的累计次数为77，该组为中位数组，中位数为26件。,L为中位数所在组下限,为中位数所在组以前各组的累计次数（较小制）,为中位数所在组的次数,由组距数列求中位数，按下列公式计算：,下限公式：,上限公式：,U为中位数所在组上限,为中位数所在组以后各组的累计次数（较大制）,例：从某单位抽查800户，取得人均收入资料如下表，计算该单位人均收入的中位数。,中位数位次f28002400，中位数组在700-800这一组中。,由上限公式,由下限公式,众数、中位数和均值的关系,例：某地区抽样调查职工家庭收入资料如下，计算职工家庭平均每人月收入（算术平均数），并用下限公式计算中位数和众数。,解：,集中趋势只是数据分布的一个特征，它所反映的是各变量值向其中心值聚集的程度。而各变量之间的差异状况就需要考察数据的分散程度。,数据的分散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映的是变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势。集中趋势的各测度值是对数据一般水平的一个概括性度量，它对一组数据的代表程度取决于该组数据的离散水平。,第三节 离散程度（变异指标）,例如，某车间有两个生产小组，每组各有10个工人，每个工人日产量件数如下：第一组：20 40 60 80 100 120 140 第二组：74 76 78 80 82 84 86,离中趋势的各测度值就是对数据离散程度所作的描述。 描述数据离散程度采用的测度值，根据所依据数据类型的不同主要有全距、平均差、方差和标准差以及标准差系数等。其中最常用的是标准差和标准差系数。,数据的离散程度越大，集中趋势的各测度值对该组数据的代表性就越差；离散程度越小，其代表性就越好。,全距也称极差，是一组数据中的最大值和最小值之差。,例如，有甲乙两组数据如下：甲组：50、60、70、80、90；乙组：60、65、70、75、80；,分析：,1.虽然二者平均水平相同，但从全距看，乙组均值的代表性更强。,一、全距,二、平均差 平均差也称平均离差，是各变量值与其均值离差绝对值的平均数，用AD表示。根据资料的不同，平均差有两种计算方法：,2.极差容易受极端值的影响，未考虑数据的分布。由于极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散状况，因而不能准确描述出数据的分散程度。,(二)加权平均法此法是根据组距分组数据计算的，其公式为：,(一)简单平均法,此法是根据未分组资料计算的，公式为,甲乙两个班组工人日产量资料如下：,甲班 工人日产量（件）： 25 28 30 35 42 乙班工人日产量 （件）： 18 24 32 38 48要求：计算平均差，比较两个班组工人平均日产 量的代表性。,解：1、计算平均日产量,甲班：,= 5.2 (件),乙班：,= 8.8 (件),2、平 均 差,甲班工人日产量的平均差小于乙班，甲班工人平均日产量的代表性大于乙班。,= 32（件）,32（件）,1.平均差以均值为中心，反映了每个数据与均值的平均离差程度，它能全面准确地反映一组数据的离散状况。,2.平均差越大，说明数据的离散程度越大；反之，则说明数据的离散程度越小。,3.为了避免离差之和等于0而无法计算平均差这一问题，平均差在计算时对离差取了绝对值，以离差的绝对值来表示总离差，这给计算带来了不便。同时平均差在数学性质上也不是最优的，因而实际中应用较少。,三、标准差,2.标准差的平方称为方差。,3.标准差的涵义与平均差基本相同，也表示各标志值对算术平均数的平均距离，所不同的是在数学处理上有所区别。平均差是用绝对值消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，而标准差是用平方的办法。,1. 标准差是总体各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，又称均方差。,（一）简单平均法根据未分组的原始数据计算标准差，公式为,计算标准差大体分以下几步：,第三步，计算离差平方的算术