解读定积分与微积分基本定理.doc

解读定积分与微积分基本定理一、知识点精析知识点1曲边梯形的面积曲边梯形是曲线与平行于轴的直线，和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤：（1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形从区间上看，用个分点将区间分成个小区间（不一定相等）（2）近似代替：在每个小区间内任取一点，以为高，为底的小矩形面积为，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值（3）求和：将分割成的个矩形面积加起来，其和为，它是所求曲边梯形的面积的近似值（4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值就越接近于曲边梯形的面积，当中的最大值时，的极限存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积知识点2定积分设函数定义在区间上，用分点，把区间分成个小区间，其长度依次为，记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间的长度都趋近于，在每个小区间内任取一点，作和式当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即其中，叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限， 叫做被积式，此时称函数在区间上可积理解说明：（1）定积分是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数和积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性）（2）在定积分的定义中，总是假设，而当及时，不难验证，这就是说当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号（3）在区间上求连续函数的定积分，可归结为：分割、近似代替、求和、取极限四步，因此用定义求定积分的一般步骤：分割：将区间等分成个小区间； 近似代替：取点；求和：；取极限：知识点3定积分的几何意义一般情况下，定积分的几何意义是表示由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积的代数和在区间上，当函数时，曲边梯形位于轴的上方，定积分的几何意义是由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积，即当函数时，曲边梯形位于轴的下方，在右端的和式中，由于，所以有，从而定积分的值为负值，此时由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积应是或因此在用定积分求平面图形的面积时，首先要确定被积函数、积分变量、积分上限下限，其一般步骤为：画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积；计算各个定积分，求出所求的面积知识点4微积分基本定理如果，且在上可积，则，这个结论叫微积分基本定理，其中叫做的一个原函数也常记为理解说明：（1）由于，所以也是函数的原函数，其中为常数（2）利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的一个原函数，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出，因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算二、应注意的几点1根据定积分定义求定积分，往往比较困难，利用微积分基本定理求定积分比较方便2利用定积分求所围成的平面图形的面积，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限3，与有不同的几何意义，绝不能等同看待，由于被积函数在闭区间上可正可负，因而它的图象可都在轴的上方，也可都在轴的下方，还可以在轴的上下两侧，所以表示轴、曲