平方根、立方根.doc

年 级初二学 科数学编稿老师巩建兵课程标题平方根、立方根一校林卉二校张琦锋审核王百玲一、考点突破1. 对“平方根”的中考要求：了解平方根、算术平方根的概念，以及用根号表示数的平方根和算术平方根，了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根和算术平方根，本讲内容是中考命题的重点，常以填空题、选择题及判断题的形式出现，分值为23分，以考查对平方根、算术平方根的理解程度为主。2. 对“立方根”的中考要求：会求一个数的立方根，并会解决一些较简单的实际问题，在命题的方向和题型设置上，题型以填空题、选择题为主，分值为23分。考查对立方根的概念、性质的掌握情况，常与平方根的概念综合考查，有时也与相反数、绝对值等知识综合在一起考查。二、重、难点提示重点：求一个数的算术平方根、平方根、立方根；难点：算术平方根、平方根、立方根的性质及应用。一、知识列表定义表示方法性质算术平方根如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。（a0）正数有一个算术平方根负数没有算术平方根0的算术平方根是0平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根），即如果x2a，那么x叫做a的平方根。（a0）正数有两个平方根，它们互为相反数负数没有平方根0的平方根是0立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果x3a，那么x叫做a的立方根。正数的立方根是正数负数的立方根是负数0的立方根是0二、规律方法：被开方数和方根的关系 1. 被开方数与算术平方根的关系：被开方数扩大（缩小）为原来的100倍（）时，它的算术平方根会相应地扩大（缩小）为原来的10倍（）。 2. 被开方数与立方根的关系：被开方数扩大（缩小）为原来的1000倍（）时，它的立方根相应地扩大（缩小）为原来的10倍（）。能力提升类例1 求下列各数的平方根。（1）；（2）（0.49）（1.21）；（3）1（）2；（4）8.423.52。一点通：求平方根，应先将每一个数进行化简。答案：（1）4，（2）24，的平方根是2；（2）（0.49）（1.21）0.491.21，（0.71.1）20.491.21，（0.49）（1.21）的平方根是0.77；（3）1（）21，（），1（）2的平方根是；（4）8.423.5282.81，（9.1）82.81，8.423.52的平方根是9.1。点评：本题主要考查对平方根概念的理解和开平方运算。解答这类题时要注意合理运用乘方运算法则，寻找简捷的算法。例2 填空题：（1）的平方根是_；（2）若的平方根是2，则x_；（3）的立方根是2，则x_。一点通：（1）4，4的平方根是2，的平方根是2；（2）的平方根是2，4，x64；（3）的立方根是2，8，x64。答案：（1）2；（2）64；（3）64。点评：本题主要考查开方和乘方的互逆关系，应正确理解平方根、立方根等有关概念和题目中已知与所求之间的关系。综合运用类例3 已知x3与2x15是a的平方根，求a的值。一点通：本题没有告知x3和2x15是a的两个平方根，因此x3与2x15可能是同一个数，也可能是互为相反数。答案：当x3与2x15相等时，x32x15，得x18。此时，x32x1521，a212441；当x3与2x15互为相反数时，（x3）（2x15）0，得x4。此时，x37，2x157，a（7）249，a的值是441或49。点评：“a、b是x的平方根”与“x的平方根是a、b”表达的意义不同，前者表示a、b相等或互为相反数，后者表示a、b互为相反数。例4 如果将一个长方形ABCD折叠成一面积为196cm2的正方形ABFE，已知长方形CDEF的面积为正方形ABFE面积的一半，求长方形ABCD的长和宽。一点通：由已知正方形ABFE的面积为196cm2可求出AB的长，再根据长方形CDEF与正方形ABFE的面积关系可求出ED的长，进而求出AD的长。答案：由题意可知正方形ABFE的面积为196cm2，所以ABAE14（cm）。因为长方形CDEF的面积是正方形ABFE面积的一半，所以CDED196，即14ED98，ED7（cm），所以ADAEED14721（cm）。所以长方形ABCD的长为21cm，宽为14cm。点评：本题是一道开方运算的几何应用题，通过开方求出正方形ABFE的边长，问题便可得以解决。思维拓展类例5 解下列方程：（1）（x2）2256；（2）25（x2）2360；（3）3（x1）3375。一点通：将第（1）、（2）题的方程转化为x2a的形式，再根据平方根的意义求解；将第（3）题的方程转化为x3a的形式，再根据立方根的意义求解。但应注意一个正数的平方根有两个，任意一个数的立方根只有一个。答案：（1）（x2）2256，x2，x216，x114，x218；（2）25（x2）2360，25（x2）236，（x2）2，x2，x1，x2；（3）3（x1）3375，（x1）3125，x15，x4。点评：解此类方程，可先将方程转化为xna的形式，再根据方根的意义求出方程的解。由此可知，开方运算可以用来解次数大于1的方程。例6 解答下列各题：（1）若x225，y3（5）3，求xy的值。（2）若y3，求的值。（3）已知225的算术平方根是a，512的立方根是b，求的值。（4）设b3270，求（ab）2011的值。一点通：先根据已知条件求出字母的值，再代入求解。答案：（1）x225，y3（5）3，x5，y5。xy5（5）0或xy（5）（5）10；（2）由题意可知：，解得x，当x时，y3，；（3）由题意可得，a15，b8，6；（4）0，b3270，且b32700且b3270，即a4，b3。（ab）2011（1）20111。点评：本题包含两个重要题型，第一，形如和的式子同时出现在一个式子里，即互为相反数的两个式子开平方都有意义，这两个式子必须都为零；第二，表示非负数的式子的和为零，这些式子必须都为零。表示非负数的式子有：a的偶次幂、a、（其中a0）。一、正数和负数的方根正数有一个算术平方根，有两个互为相反数的平方根，有一个立方根；负数没有算术平方根，也没有平方根，有一个立方根。二、特殊数0、1的方根0的算术平方根、平方根、立方根都是它本身；1的算术平方根是它本身，1的平方根是1，1的立方根是它本身；1没有算术平方根，也没有平方根，1的立方根是它本身。算术平方根等于它本身的数是0、1，平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0、1。一、算术平方根与平方根之间的关系区别：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。（2）表示方法不同，正数a的平方根，表示为，正数a的算术平方根表示为。联系：（1）二者有包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。（2）存在条件相同，只有非负数才有平方根和算术平方根。（3）零的平方根和零的算术平方根都是零。二、平方根与立方根的区别和联系区别：（1）根指数不同：平方根的根指数为2，且通常省略不写；而立方根的根指数为3，不能省略。（2）被开方数的取值范围不同：平方根中被开方数必须为非负数；而立方根中被开方数可以为任意数。（3）开方的结果不同：平方根除0外，有两个互为相反数的结果；而立方根的结果是唯一的。联系：（1）平方根和立方根都是开方运算的结果，与乘方运算互为逆运算。（2）当a0时，a；（）2（）3a。（答题时间：60分钟）一、选择题 1. 下列各式中，正确的是（ ）A. 3B. 3C. 3 D. 3 2. 若正方形的边长是a，面积为S，那么（ ）A. S的平方根是aB. a是S的算术平方根C. aD. S *3. 如图，数轴上有O、A、B、C、D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在下列哪一条线段上？（ ）A. OAB. ABC. BCD. CD*4. 下列说法中，不正确的是（ ）A. 2是4的一个平方根B. 是8的立方根C. 立方根等于它本身的数只有1和0D. 平方根等于它本身的数只有0 *5. 设a1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A. 1和2B. 2和3C. 3和4D. 4和5 *6. 若n为大于1的自然数，对于，下列判断正确的是（ ）A. 一定无意义B. 一定有意义C. 若n为偶数，则一定无意义D. 若n为奇数，则一定有意义二、填空题 *7. 若x264，则_。 *8. 已知：一个正数的两个平方根分别是2a2和a4，则a的值是_。 *9. 若x2（2）2，则x_；若x323，则x_。 *10. 借助计算器计算：_，_，_，请你观察上面几道题的结果，试猜想：_。三、综合运用 11. （1）求0.000169的平方根；（2）求64000000的立方根。 12. 解方程：（1）（x3）264；（2）8（x1）3；（3）4x2。 *13. 若y310，求（x2y2）的平方根。 *14. 已知A是nm3的算术平方根，B是m2n的立方根，求BA的值。四、实际应用 *15. 某公路规定汽车的行驶速度不得超过80km/h，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数，在一次交通事故中，已知d16，f1.69，请你判断一下，肇事汽车当时的速度是否超过了规定的速度？一、选择题1. C 2. B3. C 解析：因为45，4.7222.0918，所以在数轴上的位置会落在线段BC上。4. C 解析：4有两个平方根，是2，2是其中的一个，故A正确；8的立方根是，B正确；0、1、1的立方根都等于它本身，故C不正确；0的平方根是0，其他的数不具有这一性质，故D正确。5. C 解析：因为45，所以314，即a在3和4之间。6. D 解析：对来说，当n是奇数时，无论a为何值，总有意义，所以D正确；当n是偶数，a0时，无意义，但n是偶数，a0时，有意义，所以C不正确；选项A和B没有给出n和a的取值，不一定正确。二、填空题7. 2 解析：因为x264，所以x8，所以2。8. 2 解析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即2a2（a4），解得a2。9. 2，2 解析：因为x2（2）24，所以x2；因为x323（2）3，所以x2。另解：x2；x2。10. 5，55，555，5555 解析：55，依此可以推导出的规律。三、综合运用 11. 解：（1）因为132169，把0.000169的小数点向右移动6位得169，所以0.000169的平方根应把13的小数点向左移动3位，即0.013；（2）将64000000的小数点向左移动6位得64，因为4，所以64000000的立方根应把