§1.5.2排列(第1课时)

排列 回顾 加法原理 分类计数原理 做一件事情 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 乘法原理 分步计数原理 做一件事情 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事有N m1 m2 mn种不同的方法 从2个红球 3个白球 4个黄球中 任取一个球 有多少种取法 各取一个球 有多少种取法 若各个球编有号码 则从中各取一个组成三色球信号 问 共有多少种信号 排列 从n个不同的元素中 任取m m n 个不同的元素 按照一定的次序排成一排 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列 排列数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用符号表示 要点 选出的元素与次序有关 规定 0 1 1 用排列数符号表示 3720 计算 2 练习 例1 计算 例2 解方程或不等式 x 3 x 8 练习2 1 从2 3 5 7 11这五个数字中 任取两个不同的数字组成分数 则不同的分数值共有 2 4人站成一排照相留念有 种不同的排法 4人站成前后两排照相留念有 种不同的排法 3 5件不同的刺绣 7件不同的红木工艺品 排成一排展览 要使刺绣排在一起 红木工艺品排在一起 则不同排法有 种 例3 用红 黄 蓝3面旗子按一定顺序 从上到下排列在竖直旗杆上表示信号 每次可任挂1面 2面或3面 并且不同的顺序表示不同的信号 一共可表示多少种不同信号 15 例4 用0 1 2 3 4 5组成没有重复数字的自然数 1 可组成多少个六位数 2 可组成至少有一个偶数数字的三位数多少个 3 可组成被3整除的四位数多少个 4 可组成大于324105的六位数多少个 600 94 96 297 7位同学站成一排 有多少种不同的排法 7位同学站成两排 前3后4 有多少种不同的排法 3 7位同学站成一排 其中甲一定站在正中间 共有多少种不同的排法 解 特殊元素优限法 余下的6个元素全排列 解 根据分步原理 例5 4 7位同学站成一排 甲 乙只能站两端的排法共有多少种排法 解 根据分步计数原理 第一步 甲 乙两端有种 第二步 余下的5名同学进行全排列有种 所以共有 种 特殊元素 5 7位同学站成一排 甲 乙都不能站在两端的排法 共有多少种 解 第一步 从 除去甲 乙 其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾 有种方法 第二步余下的5位同学站到中间5个位置有种方法 所以一共有 种 特殊位置 解题回顾一 对于在与不在的问题 对有特殊条件限制的元素 或位置 可以优先排 然后再考虑其他元素的排法 优限法 例6 7位同学站成一排 甲 乙两人必须相 邻的排法共有多少种 解 将甲 乙两位同学捆绑在一起看成一个元素与其余的5个元素 同学 一起进行全排列有种 再将甲 乙两位同学松绑进行排列有种 所以共有 种 变式1 甲 乙和丙三位同学都相邻的排法共有多少种 变式2 五位老师和他们的五位科代表一起拍照 每位老师与他的科代表一定要相邻的排法 对于相邻问题 可以先将这些元素看 捆绑 作一个元素与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排列 捆绑法 先捆后松 解题回顾二 邻的排法共有多少种 解法一 间接法 种 解法二 先将其余5个同学排好有种 留下6个空位 简称空 再将甲 乙同学分别插入这6个空中有种 所以共有 种 插空法 例7 7位同学站成一排 甲 乙两同学不能相 变式1 甲 乙和丙三同学都不能相邻的排法共有多少种 解 先将其余的4个同学排好有种方法 这时留下5个空 再将甲 乙和丙3个同学分别插入这5个空中 有种方法 所以共有 种 变式2 其中3位男生 4位女生 男生不能相邻 女生不能相邻的排法有多少种 的排法有多少种 变式3 变式4 6名同学排成一排 其中3位男生 3位女生 男女生必须相隔的排法共有多少种 解题回顾三 对于不相邻问题 常先将其他元素排好 再将所指定的不相邻的元素插到它们的空档和两端位置 插空法 特殊元素后插入 小结 从n个不同的元素中 任取m m n 个不同的元素 按照一定的次序排成一排 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列 当m n时 称为选排列 当m n时 称为全排列 排列数 要点 选出的元素与次序有关 排列 规定 0 1 小结 二 对有限制条件的排列问题 应注意如下类型 某些元素不能在或必须在某一位置 某些元素要求必须相邻 优限法 捆绑法 插空法 一 解题思路 直接法 间接法 两个原理 某些元素要求必须相隔 即不能相邻 基本的解题方法 1 定位问题优限法 所谓 优限法 即有限制条件的元素 或位置 在解题时优先考虑 2 相邻元素捆绑法 在解决对于某几个元素要求相邻问题时 可整体考虑将相邻元素视为一个 大 元素 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排列 3 相离问题插空法 不相邻问题是指要求某些元素不能相邻 由其他元素将它隔开 此类问题可以先将其他元素排好 再将所指定的不相邻的元素插到它们的间隙及两端位置 6 在处理排列问题时 一般可采用直接和间接两种思维形式 5 复杂问题 排除法 间接法 对于一些比较复杂的问题的求解 用排除法可能更简单 只要将不合要求的一一排除即可 但使用排除法时同样要注意 分类 或 分步 要不重不漏 4 顺序固定问