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第40讲数学归纳法 理解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 题型一证明等式问题 评析 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题 其关键是要弄清等式两端项的构成规律 项的多少与n的取值是否有关 在由n k到n k 1时 增加了哪些项 在用了归纳假设后要及时将所得结果与待证结果进行比较 逐步化归为要证结果 题型二证明整除问题 评析 证明整除性问题的关键是 凑项 采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设获证 题型三用数学归纳法证明几何问题 评析 数学归纳法在高考试题中常与数列 平面几何等知识相结合来考查 对于此类问题 解决的关键往往在于抓住对问题的划分标准 题型四用数学归纳法证明不等式问题 评析 数学归纳法在高考试题中常与数列 平面几何等知识相结合来考查 对于此类问题 解决的关键往往在于抓住对问题的划分标准 评析 用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时 推导 n k 1 时成立 有时要进行一些简单的放缩 有时还要用到一些其他的证明不等式的方法 如比较法 综合法 分析法 反证法等等 1 在证明传递性时 应注意 1 证明n k 1成立时 必须要用到n k成立的假设 否则就不是数学归纳法 应当指出n k成立是假设的 这一步是证明传递性 正确性由第一步保证 有了递推这一步 联系第一步的结论 命题对n n0时成立 就可以知道命题对n0 1也成立 进而再由第二步可知n n0 1 1 即n n0 2也成立 这样下去 就可以知道命题对所有的不小于n0的正整数都成立 2 用数学归纳法证明代数恒等式的关键是在第二步将式子化成与归纳假设结构相同的形式 再利用归纳假设 进行恒等变形 用数学归纳法证明不等式时 在把n k的不等式转化为n k 1的不等式成立的命题时 比较法 综合法 分析法 放缩法等不等式的证明方法是常用方法 用数学归纳法证明整除性问题和几
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