最新经典试题系列---高考题选编(解答题部分)---三角函数与平面向量.doc

高考题选编-三角函数与平面向量三解答题1.（安徽卷）已知（）求的值； （）求的值。解：()由得，即，又，所以为所求。（）=。2.（北京卷）已知函数（1）求的定义域； （2）设是第四象限的角，且，求的值.解：（1）依题意，有cosx0，解得xkp，即的定义域为x|xR，且xkp，kZ（2）2sinx2cosx2sina2cosa由是第四象限的角，且可得sina，cosa,2sina2cosa.3.（福建卷）已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？解：（I）的最小正周期由题意得的单调增区间为（II）先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。4（广东卷）已知函数.(I) 求的最小正周期； (II)求的的最大值和最小值；(III)若，求的值.解：（）的最小正周期为;（）的最大值为和最小值；（）因为，即,即 5.（湖南卷）已知求的值. 解：由已知条件得.即.解得.由0知，从而.6.（辽宁卷）已知函数，.求:(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(II) 函数的单调增区间.解:(I) 当,即时, 取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为. (II) 由题意得: 即: 因此函数的单调增区间为.7.（山东卷）已知函数f(x)=A(A0,0,0函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求; （2）计算f(1)+f(2)+ +f(2 008).解：（1）的最大值为2，.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，,.过点，又.（II），.又的周期为4，解法二：又的周期为4，8. (陕西卷) 已知函数f(x)=sin(2x)+2sin2(x) (xR)(1) 求函数f(x)的最小正周期; (2) 求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解:(1) f(x)=sin(2x)+1cos2(x)= 2sin2(x) cos2(x)+1=2sin2(x)+1= 2sin(2x) +1,T=. (2) 当f(x)取最大值时，sin(2x)=1，有2x =2k+, 即x=k+ , (kZ) 所求x的集合为xR|x= k+ ， (kZ)9.(上海卷) 求函数2的值域和最小正周期解: 函数的值域是,最小正周期是；10.（天津卷）已知，求和的值解：由得则因为所以解法二：由得解得或由已知故舍去得且故11.（浙江卷）如图，函数y=2sin(x),xR,(其中0)的图象与y轴交于点（0，1）. ()求的值；()设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求解：（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而 ，故.12.（湖北卷）设函数，其中向量，。（）求函数的最大值和最小正周期；（）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是d（，2），kZ.k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.BDCA图313（湖南卷）如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.（1）证明 ;（2）若AC=DC,求的值.解：(1)如图3，即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，14（江西卷）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值； （2）若，求的值解：（1）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，则 （2），则bc3。将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 15.（江西卷）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）。（1）试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，AG，MAG，由正弦定理得则S1GMGAsina，同理可求得S2（2）y72（3cot2a），因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240，当a时，y取得最小值ymin216。16.（全国卷I）的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ ，当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为。17.（全国II）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（1）若ab，求； （2）求ab的最大值解：(1) 当=1时有最大值,此时，最大值为。18. （四川卷）已知是三角形三内角，向量，且（）求角； （）若，求tanC.解：（） ，即，,， 。（）由题知，整理得， ，或，而，使，舍去 。19.（天津卷）如图，在中，（1）求的值； （2）求的值. 解：（1）由余弦定理，（）由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，且，故. 20（安徽理16）已知为的最小正周期， ，且求的值解：因为为的最小正周期，故因，又故由于，所以。21（安徽文20）设函数，其中，将的最小值记为（I）求的表达式； （II）讨论在区间内的单调性并求极值解：（I）由于，故当时，达到其最小值，即（II）我们有列表如下：（略）由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为22（福建理17）在中，（）求角的大小； （）若最大边的边长为，求最小边的边长解：（），又，（），边最大，即又，角最小，边为最小边由且，得由得：所以，最小边23（广东理16）已知顶点的直角坐标分别为，（1）若，求的值； （2）若是钝角，求的取值范围解： （1），若c=5，sinA；（2）若A为钝角，则解得，c的取值范围是。24（海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高解：在中，由正弦定理得所以在中，25（湖北理16）已知的面积为，且满足，设和的夹角为（I）求的取值范围； （II）求函数的最大值与最小值解：（）设中角的对边分别为，则由，可得，（），即当时，；当时，26（湖北文16）已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围解：（） 又，即，（），且，即的取值范围是27（湖南理16）已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）28（湖南文16）已知函数求：（I）函数的最小正周期； （II）函数的单调增区间解：（I）函数的最小正周期是；（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）29（江西理18）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值解：（1）将，代入函数得，因为，所以又因为，所以，因此（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或30（全国卷1理17）设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小； （）求的取值范围解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知，的取值范围为31（全国卷2理17）在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域； （2）求的最大值解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为，当，即时，取得最大值北乙甲32（山东理20）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结，由已知，又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）解法二：如图，连结，由已知，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时33（山东文17）在中，角的对边分别为（1）求； （2）若，且，求解：（1），又，解得，是锐角（2），又，34（陕西理17）设函数，其中向量，且的图象经过点（）求实数的值； （）求函数的最小值及此时值的集合解：（），由已知，得（）由（）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为35（四川理17）已知40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin= 所以船会进入警戒水域.63. (2009年广东卷文) 已知向量与互相垂直，其中.（1）求和的值（2）若，,求的值解:（）,即,又, ,即,.又,.(2) , ,即,又 , .21世纪教育网 64.（2009全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 解：在中有:化简并整理.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以,又，即,由正弦定理得，故,由，解得。65.（2009浙江理）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解：（I）因为，又由，得，. 21世纪教育网 （II），又，或,， 21世纪教育网 66.（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足，. （I）求的面积； （II）若，求的值解:（）,又，而，所以，所以的面积为：.（）由（）知，而，,.67.（2009北京文）已知函数.（）求的最小正周期； （）求在区间上的最大值和最小值.解:（），函数的最小正周期为.（）由，在区间上的最大值为1，最小值为.68.（2009北京理）在中，角的对边分别为，。（）求的值； （）求的面积.解:（）A、B、C为ABC的内角，且，.（）由（）知，又，在ABC中， .ABC的面积.69. (2009山东卷理) 设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，且C为锐角，求sinA.解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=,所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. （2）=, C为锐角,所以,又因为在ABC 中,cosB=, ,.70. (2009山东卷文) 设函数f(x)=2在处取最小值.(1) 求的值;(2) 在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C.解: （1） ,因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以. （2）,角A为ABC的内角,.又,也就是,因为,或.当时,; 当时,.71. （2009全国卷）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.解：由cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,sinAsinC=.又由=ac得故，或（舍去），于是B= 或 B=.又由知或,B=。72.（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值； （2）若，求的值 解：（1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，.73.（2009安徽卷理）在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.解：（）由，且，又，.（）,，又.74.（2009安徽卷文）在中,（I）求sinA的值； (II)设 求的面积。解：（1）, 21世纪教育网 .又 （2）,. 21世纪教育网 75.（2009江西卷文）在中，所对的边分别为，（1）求； （2）若，求,，解：（1）由,得,则有 =,得 即.（2） 由,推出 ；而,即得,则有 ,解得 .76.（2009江西卷理）中，所对的边分别为，,.（1）求； （2）若,求. 21世纪教育网 解：(1) 因为，即，所以，即，得.所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因为，则，或,（舍去） 得.(2),又, 即 ，21世纪教育网 得77.（2009天津卷文）在中，（1）求AB的值。 （2）求的值。解：（1）解：在 中，根据正弦定理，于是.（2）在 中，根据余弦定理，得,于是=，从而,.78.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且.（I）求的值； （II）若，求的值。解：（I）为锐角, .,.（II）由（I）知， ,由得，即,又, ,.79.（2009全国卷理）设的内角、的对边长分别为、，求。解：由，将代入,得.由两角和与差的余弦公式展开得；又由，得，进而得.故。当时，由，进而得，矛盾，应舍去。80.（2009湖南卷文）已知向量（）若，求的值； （）若求的值。 解：（） 因为，所以于是，故（）由知，所以从而，即，于是.又由知，所以，或.因此，或 81.（2009福建卷理）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 解：（）依题意，有，又，。,当时，, 又,.（）在MNP中MNP=120，MP=5，设PMN=，则060,.故,060，当=30时，折线段赛道MNP最长.亦即，将PMN设计为30时，折线段道MNP最长.解法二：（）同解法一（）在MNP中，MNP=120，MP=5，由余弦定理得MNP=即,故,从而，即,当且仅当时，折线段道MNP最长.82.（2009陕西卷文）已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为. ()求的解析式； （）当，求的最值.解: ()由最低点为,由,由点在图像上得即,所以故.又，所以所以.（）因为,所以当时，即x=0时，f(x)取得最小值1；83. (2009陕西卷理) 已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.()求的解析式； （）当，求的值域. 解: ()由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，,由点在图像上的,故,又.（）当=，即时，取得最大值2；当,即时，取得最小值-1，故的值域为-1,2. 21世纪教育网 84.（2009湖北卷文） 在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且()确定角C的大小： （）若c,且ABC的面积为,求ab的值。解: ()由及正弦定理得，,是锐角三角形,.（）由面积公式得 由余弦定理得21世纪教育网 由变形得.解法二：前同解法1，联立、得,消去b并整理得解得.所以,故. 21世纪教育网 85. (2009湖南卷理) 在，已知，求角A，B，C的大小。解：设,由得，所以又因此.由,得，于是,所以，因此，既,由A=知，所以，从而或，既或故或。86.（2009天津卷理）在ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值： (II) 求sin的值 21世纪教育网 解：（）在ABC中，根据正弦定理， ,于是AB=.（）在ABC中，根据余弦定理，得cosA=,于是 sinA=,从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=, ,sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=.87.（2009福建卷文）1世纪教育网 已知函数其中， （I）若求的值； （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。解：（I）由得 即又. 21世纪教育网 （）由（I）得，,依题意，, 又故,函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为,是偶函数当且仅当,即,从而，最小正实数.解法二：（I）同解法一.（）由（I）得， ,依题意,又，故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为,是偶函数当且仅当对恒成立,亦即对恒成立。即对恒成立。,故, 从而，最小正实数.88.（2009重庆卷理）设函数（）求的最小正周期 （）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值解：（）=故的最小正周期为T = =8.()在的图象上任取一点，它关于的对称点,由题设条件，点在的图象上，从而=.当时，因此在区间上的最大值为. 21世纪教育网 解法二：因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值.由（）知,当时，,因此在上的最大值为.89.（2009重庆卷文）设函数的最小正周期为（）求的最小正周期（）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间解：（）,依题意得，故的最小正周期为. 21世纪教育网 （）依题意得: ,由,解得, 故的单调增区间为: .90.（2009上海卷） 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .(1) 若/，求证：ABC为等腰三角形； (2) 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 21世纪教育网 为等腰三角形（2）由题意, , 21世纪教育网 .91.（2010上海文数）已知，化简：.解：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=092.（2010浙江理数）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I) 求sinC的值； ()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长解：（）因为cos2C=1-2sin2C=，及0C, 所以sinC=.（）当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4,由cos2C=2cos2C-1=，及0C得cosC=,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0,解得: b=或2所以 b= b= c=4 或 c=493.（2010陕西文）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解:在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, cos=,ADC=120, ADB=60.在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.94.（2010辽宁文数）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小； （）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得,即,由余弦定理得,故（）由（）得又，得因为，故,所以是等腰的钝角三角形。95.（2010辽宁理数）在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且（）求A的大小； （）求的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得, 即.由余弦定理得 ,故，A=120 .（）由（）得：.故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。96.（2010江西理数）已知函数.(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；(2) 当时，求m的值。解：（1）当m=0时， ，由已知，得从而得：的值域为（2） 当，得：，代入上式，m=-2.97.（2010安徽文数）的面积是30，内角所对边长分别为，. ()求； ()若，求的值。解：由，得.又，.（）.（），.98.（2010北京文数）已知函数（）求的值； （）求的最大值和最小值解：（）=（）. ,当时取最大值2；当时，去最小值-1。99.（2010北京理数）已知函数。（）求的值； （）求的最大值和最小值。解：（I）（II）=,因为，当时，取最大值6；当时，取最小值100.（2010四川理数）（）证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式.（）已知ABC的面积，且，求cosC.解：(1)如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角、与，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于P2；角的始边为OP2，终边交O于P3；角的始边为OP1，终边交O于P4. 则P1(1,0),P2(cos,sin).P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin() .由P1P3P2P4及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin 展开并整理得：22cos()22(coscossinsin),cos()coscossinsin. 由易得cos()sin,sin()cos,sin()cos()cos()()cos()cos()sin()sin()sincoscossin.(2) 由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c, 则SbcsinAbccosA30,A(0, ),cosA3sinA,又sin2Acos2A1，sinA,cosA,由题意，cosB,得sinB,cos(AB)cosAcosBsinAsinB 故cosCcos(AB)cos(AB).101.（2010天津文数）在ABC中，。（）证明: B=C; （）若=-，求sin的值。证：（）在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.所以B=C. （）由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B,于是sin2B=.从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.所以102.（2010天津理数）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值。解：（1）由，得,所以函数的最小正周期为.因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1.（）由（1）可知,又因为，所以由，得,从而所以103.（2010福建理数） ，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。解：如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇， 设，OD=，由于从出